Determine o comprimento das curvas.
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Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento da curva definida por no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente o conceito de comprimento de curvas parametrizadas. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das componentes da função em relação a e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função . A função tem duas partes: e .
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
No nosso caso, e . Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
Integrando:
Então:

Resposta

O comprimento da curva é:
Isso dá aproximadamente unidades.

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