Determine o comprimento das curvas.
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Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento da curva definida por
no intervalo
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente o conceito de comprimento de curvas parametrizadas. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das componentes da função
em relação a
e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função
. A função
tem duas partes:
e
.
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
No nosso caso,
e
. Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é:
Isso dá aproximadamente
unidades.
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(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
(b)
Mostre que não existe
.
De que forma é possível utilizar o produto escalar triplo,
, para verificar que os vetores
,
e
são coplanares?