Mostre que não existe .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o limite da função não existe quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de limites bidimensionais e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para isso, usamos a aproximação da função seno para valores pequenos: quando é próximo de zero. Assim:
Substituindo na função original:

Passo 3

Agora, para investigar o limite, precisamos analisar o comportamento da expressão ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes para diferentes caminhos, isso mostrará que o limite não existe.

Passo 4

Vamos considerar o primeiro caminho: .
Substituindo na expressão:
Então, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Agora, vamos considerar outro caminho: .
Substituindo na expressão:
Então, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Como obtivemos dois valores diferentes para o limite ( e ) ao nos aproximarmos pelo caminho e pelo caminho respectivamente, concluímos que o limite da função quando tende a não existe.

Resposta

Não existe o limite .

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