(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede duas coisas:
(a) encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção entre os dois planos dados,
(b) determinar o ângulo entre esses planos.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como sistemas lineares para achar a reta de interseção e o produto escalar para encontrar o ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta de interseção dos planos e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos.

Passo 3

Vamos usar o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema. Vou optar pela eliminação. Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, temos:

Passo 4

Somamos as duas equações para eliminar :
Simplificando:

Passo 5

Vamos expressar em termos de um parâmetro . Seja . Assim, temos:
Agora, substituímos e em uma das equações originais para encontrar . Usando a primeira equação :
Simplificando:

Passo 6

Agora temos todas as coordenadas em termos do parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos dois planos.

Passo 7

Agora, vamos determinar o ângulo entre os dois planos. Para isso, usamos as normais dos planos. As normais são os vetores formados pelos coeficientes de , e em cada equação.
Para o primeiro plano , a normal é .
Para o segundo plano , a normal é .

Passo 8

O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre as normais dos planos. Usamos a fórmula do produto escalar para encontrar esse ângulo:
Calculamos o produto escalar:
Calculamos as magnitudes dos vetores:

Passo 9

Agora, substituímos na fórmula:
Portanto,

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta de interseção são:
(b) O ângulo entre os planos é aproximadamente .

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