(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede duas coisas:
(a) encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção entre os dois planos dados,
(b) determinar o ângulo entre esses planos.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como sistemas lineares para achar a reta de interseção e o produto escalar para encontrar o ângulo entre os planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta de interseção dos planos e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos.
Passo 3
Vamos usar o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema. Vou optar pela eliminação. Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, temos:
Passo 4
Somamos as duas equações para eliminar :
Simplificando:
Passo 5
Vamos expressar em termos de um parâmetro . Seja . Assim, temos:
Agora, substituímos e em uma das equações originais para encontrar . Usando a primeira equação :
Simplificando:
Passo 6
Agora temos todas as coordenadas em termos do parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos dois planos.
Passo 7
Agora, vamos determinar o ângulo entre os dois planos. Para isso, usamos as normais dos planos. As normais são os vetores formados pelos coeficientes de , e em cada equação.
Para o primeiro plano , a normal é .
Para o segundo plano , a normal é .
Passo 8
O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre as normais dos planos. Usamos a fórmula do produto escalar para encontrar esse ângulo:
Calculamos o produto escalar:
Calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 9
Agora, substituímos na fórmula:
Portanto,
Resposta
(a) As equações paramétricas da reta de interseção são: