Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de
Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace, especialmente a Transformada de Laplace Inversa e o Teorema da Segunda Mudança de Escala. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com a exponencial
e a expressão
.
Passo 2
Vamos começar separando a expressão em duas partes: a exponencial
e a fração
. A exponencial
na transformada de Laplace está relacionada ao deslocamento no tempo, ou seja, ela introduz um atraso na função resultante.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Sabemos que a Transformada de Laplace de
é
. Comparando com o que temos, identificamos que
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula mencionada, a Transformada de Laplace Inversa de
é:
Passo 5
Agora, considerando a exponencial
, que introduz um atraso de 4 unidades de tempo, aplicamos o Teorema da Segunda Mudança de Escala. Isso significa que a função resultante será zero antes de
e, a partir desse ponto, teremos a função que encontramos no passo anterior deslocada por 4 unidades de tempo.
Passo 6
Combinando tudo, a Transformada de Laplace Inversa é dada por:
onde
é a função degrau de Heaviside que garante que a função é zero para
.
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
(b)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Determine o comprimento das curvas.
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Mostre que não existe
.