Encontre a Transformada de Laplace Inversa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de
Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace, especialmente a Transformada de Laplace Inversa e o Teorema da Segunda Mudança de Escala. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com a exponencial e a expressão .

Passo 2

Vamos começar separando a expressão em duas partes: a exponencial e a fração . A exponencial na transformada de Laplace está relacionada ao deslocamento no tempo, ou seja, ela introduz um atraso na função resultante.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a Transformada de Laplace de é . Comparando com o que temos, identificamos que e .

Passo 4

Aplicando a fórmula mencionada, a Transformada de Laplace Inversa de é:

Passo 5

Agora, considerando a exponencial , que introduz um atraso de 4 unidades de tempo, aplicamos o Teorema da Segunda Mudança de Escala. Isso significa que a função resultante será zero antes de e, a partir desse ponto, teremos a função que encontramos no passo anterior deslocada por 4 unidades de tempo.

Passo 6

Combinando tudo, a Transformada de Laplace Inversa é dada por:
onde é a função degrau de Heaviside que garante que a função é zero para .

Resposta

Exercícios relacionados

(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Determine o comprimento das curvas.
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Mostre que não existe .