Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os para (x, y) tais que
a) 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= x.
b) 1/2 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1/x^2.
c) 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raiz(x).
d) 2 x^2 + y^2 <= 1 e y ≥ 0
e) y ≥ 0,1 ≤ x ≤ 2 e x² - y² ≥ 1.
f) 0 <= x <= 1 e raiz(x) <= y <= 3.
g) x^2 <= y <= x
h) 0 <= y <= x e x^2 + y^2 <= 2.
i) y ≥ x² e x^2 + y^2 <= 2.
j) 1 <= x^2 + y^2 <= 4 e y ≥ 0
l) 1/x <= y <= 1 e 1 <= x <= 2.
m) x^2 + (y - 2)^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que será girada. A região está entre e no eixo , e entre e no eixo . Quando giramos essa região ao redor do eixo , cada pequeno pedaço vertical (disco) formado terá um raio igual a naquela posição de .

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a função que define a borda superior da região, que no nosso caso é . Os limites de integração são e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:

Passo 6

Multiplicamos o resultado da integral por para encontrar o volume total:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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