Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e .
b) .
c) e .
d) e
e) e .
f) e .
g)
h) e .
i) e .
j) e
l) e .
m) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que será girada. A região está entre e no eixo , e entre e no eixo . Quando giramos essa região ao redor do eixo , cada pequeno pedaço vertical (disco) formado terá um raio igual a naquela posição de .

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a função que define a borda superior da região, que no nosso caso é . Os limites de integração são e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:

Passo 6

Multiplicamos o resultado da integral por para encontrar o volume total:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
e) e .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta , da região limitada pela curva e pelas retas e e à direita de .