Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e .
b) .
c) e .
d) e
e) e .
f) e .
g)
h) e .
i) e .
j) e
l) e .
m) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área que será girada. A região está entre e no eixo , e entre e no eixo . Quando giramos essa região ao redor do eixo , cada pequeno pedaço vertical (disco) formado terá um raio igual a naquela posição de .
Passo 3
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a função que define a borda superior da região, que no nosso caso é . Os limites de integração são e .
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Passo 6
Multiplicamos o resultado da integral por para encontrar o volume total: