Faça o que se pede
c) Determine as constantes a e b para que a função
seja derivável
c) Determine as constantes a e b para que a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as constantes
e
para que a função
seja derivável. O conteúdo envolvido aqui é continuidade e derivabilidade de funções. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e também igual ao valor da função em
.
Para
,
. Então,
Para
,
. Então,
Como a função deve ser contínua em
, igualamos os dois valores:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de
devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de
para
:
Então,
Agora, encontramos a derivada de
para
:
Então,
Como as derivadas devem ser iguais em
:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2.
Da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
As constantes são
e
para que a função
seja derivável.
Exercícios relacionados
Resolva, em
, as seguintes equações:
Resolva, em
, as seguintes equações:
Seja
as somas parciais da sequência
. Se for convergente, obtenha sua soma.
Determine o comprimento das curvas dadas:
.