Faça o que se pede
c) Determine as constantes a e b para que a função f(x) = { a*x^3 se x < 2; x^2 + b se x ≥ 2 } seja derivável

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as constantes e para que a função seja derivável. O conteúdo envolvido aqui é continuidade e derivabilidade de funções. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e também igual ao valor da função em .
Para , . Então,
Para , . Então,
Como a função deve ser contínua em , igualamos os dois valores:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de para :
Então,
Agora, encontramos a derivada de para :
Então,
Como as derivadas devem ser iguais em :
çã

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2.
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

As constantes são e para que a função seja derivável.

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