Determine o comprimento das curvas.
(a) r(t) = (1, t^2, t^3) com t in [0, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o comprimento de uma curva. A curva que a gente tem é dada por , onde t varia de 0 a 1. Isso significa que a curva está no espaço tridimensional, e a gente quer saber qual é a distância total percorrida ao movermos de t = 0 até t = 1.
Para resolver isso, vamos usar uma fórmula da matemática que calcula o comprimento de uma curva paramétrica. A gente vai precisar derivar a função que define a curva e depois calcular uma integral, que é tipo uma soma contínua, para achar o comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função r(t). A derivada nos dá a velocidade da curva, ou seja, como a posição muda conforme t varia. Então, vamos derivar cada componente da função:

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos encontrar o módulo (ou comprimento) desse vetor velocidade. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento L é:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar t^2:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de u em relação a t é:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a u:
Como estamos calculando um comprimento, a constante C não é necessária. Voltando para t:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Para :
Para :
Então, o comprimento L é:

Resposta

O comprimento da curva de a é:

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