Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o comprimento de uma curva. A curva que a gente tem é dada por , onde varia de 0 a 1. Isso significa que a curva está no espaço tridimensional, e a gente quer saber qual é a distância total percorrida ao movermos de até .
Para resolver isso, vamos usar uma fórmula da matemática que calcula o comprimento de uma curva paramétrica. A gente vai precisar derivar a função que define a curva e depois calcular uma integral, que é tipo uma soma contínua, para achar o comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a velocidade da curva, ou seja, como a posição muda conforme varia. Então, vamos derivar cada componente da função:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos encontrar o módulo (ou comprimento) desse vetor velocidade. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento é:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Como estamos calculando um comprimento, a constante não é necessária. Voltando para :