Encontre a Transformada de Laplace Inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa! A gente precisa encontrar a transformada inversa de uma função que está no domínio de . Para isso, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, como frações parciais e o teorema de deslocamento. Vamos quebrar essa função em partes mais simples pra facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que precisamos inverter:
Aqui, a presença de sugere que vamos usar o teorema de deslocamento na Transformada de Laplace, que nos ajuda a lidar com deslocamentos no tempo.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador da fração:
Então, a função fica:
Agora, vamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 4

Vamos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 5

Para encontrar , e , podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 6

Agora, voltando à nossa função original com o fator :
A Transformada de Laplace inversa de é , onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 7

Vamos calcular a transformada inversa de cada termo dentro dos parênteses:
Aplicando isso:

Passo 8

Agora, juntando tudo e aplicando o deslocamento com :

Resposta

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Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Determine o comprimento das curvas.
(a) com
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.