Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa! A gente precisa encontrar a transformada inversa de uma função que está no domínio de
. Para isso, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, como frações parciais e o teorema de deslocamento. Vamos quebrar essa função em partes mais simples pra facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que precisamos inverter:
Aqui, a presença de
sugere que vamos usar o teorema de deslocamento na Transformada de Laplace, que nos ajuda a lidar com deslocamentos no tempo.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador da fração:
Então, a função fica:
Agora, vamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 4
Vamos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
Passo 5
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, voltando à nossa função original com o fator
:
A Transformada de Laplace inversa de
é
, onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 7
Vamos calcular a transformada inversa de cada termo dentro dos parênteses:
Aplicando isso:
Passo 8
Agora, juntando tudo e aplicando o deslocamento com
:
Resposta
Exercícios relacionados
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)
(b)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Determine o comprimento das curvas.
(a) com
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.