Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa resolver usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e usaremos a Transformada de Laplace para transformar a equação do domínio do tempo para o domínio de , facilitando a resolução. Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos que contêm :
Vamos isolar :

Passo 4

Para simplificar, vamos dividir ambos os lados pela expressão :
Agora, precisamos fatorar o denominador . Encontramos dois números que multiplicam para -2 e somam para 1, que são 2 e -1:
Então, substituindo de volta:
Simplificando o primeiro termo:

Passo 5

Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Para o primeiro termo:
Resolvido, encontramos , , e .
Para o segundo termo:
Resolvido, encontramos e .
Então, a expressão completa fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando nisso:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão combinando os termos semelhantes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine o comprimento das curvas.
(a) com
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
, onde
Existe uma transformação linear de tal que e $T(1,1,1)=(0,1) ?