Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa resolver usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e usaremos a Transformada de Laplace para transformar a equação do domínio do tempo para o domínio de
, facilitando a resolução. Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos que contêm
:
Vamos isolar
:
Passo 4
Para simplificar, vamos dividir ambos os lados pela expressão
:
Agora, precisamos fatorar o denominador
. Encontramos dois números que multiplicam para -2 e somam para 1, que são 2 e -1:
Então, substituindo de volta:
Simplificando o primeiro termo:
Passo 5
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Para o primeiro termo:
Resolvido, encontramos
,
, e
.
Para o segundo termo:
Resolvido, encontramos
e
.
Então, a expressão completa fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando nisso:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão combinando os termos semelhantes:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento das curvas.
(a) com
(a)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
, onde
Existe uma transformação linear
de
tal que
e $T(1,1,1)=(0,1) ?