Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para traçar a curva definida por no intervalo de de a . Essa curva é conhecida como ciclóide. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, determinar sua orientação e calcular seu comprimento usando conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a ciclóide. A ciclóide é a trajetória seguida por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície plana. A parametrização dada por descreve essa trajetória, onde é o raio da roda.
Passo 3
Para traçar a curva, vamos analisar as componentes e . À medida que varia de a , e nos dão as coordenadas no plano. Quando , temos . Quando , . Isso mostra que a curva começa na origem e termina em , completando uma “volta” da ciclóide.
Passo 4
A orientação da curva segue o sentido crescente de . Ou seja, conforme aumentamos de a , a roda rola para a direita e o ponto descreve a ciclóide de baixo para cima e de volta para baixo, repetindo esse padrão.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento da curva, também conhecido como arco da curva. A fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por de a é:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 8
Expandindo e simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Então:
Passo 9
Utilizamos uma identidade trigonométrica para simplificar . Sabemos que:
Portanto:
No intervalo de a , é não negativo, então podemos remover o valor absoluto: