Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(b) (ciclóide)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para traçar a curva definida por no intervalo de de a . Essa curva é conhecida como ciclóide. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, determinar sua orientação e calcular seu comprimento usando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a ciclóide. A ciclóide é a trajetória seguida por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície plana. A parametrização dada por descreve essa trajetória, onde é o raio da roda.

Passo 3

Para traçar a curva, vamos analisar as componentes e . À medida que varia de a , e nos dão as coordenadas no plano. Quando , temos . Quando , . Isso mostra que a curva começa na origem e termina em , completando uma “volta” da ciclóide.

Passo 4

A orientação da curva segue o sentido crescente de . Ou seja, conforme aumentamos de a , a roda rola para a direita e o ponto descreve a ciclóide de baixo para cima e de volta para baixo, repetindo esse padrão.

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento da curva, também conhecido como arco da curva. A fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por de a é:

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 8

Expandindo e simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Então:

Passo 9

Utilizamos uma identidade trigonométrica para simplificar . Sabemos que:
Portanto:
No intervalo de a , é não negativo, então podemos remover o valor absoluto:

Passo 10

Substituindo de volta na integral:

Passo 11

Calculamos a integral:
Então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O comprimento da curva ciclóide é .

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(a) com