Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{f(t)}, onde f(t) = { 1 se 0 <= t < 3, t^2 se t >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento no tempo . A transformada de Laplace é uma técnica que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando muito resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar dividir a função em duas partes e calcular a transformada de cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição da transformada de Laplace:
Como muda em , vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 3 e de 3 até o infinito.

Passo 3

Para , . Então, a primeira parte da transformada fica:
Essa integral é direta e resolve para:

Passo 4

Agora, para , . A segunda parte da transformada é:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes ou consultamos a tabela de transformadas de Laplace, sabendo que:
Mas como a função começa em , usamos a propriedade do deslocamento no tempo:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes da transformada:
Isso simplifica para:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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