Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace de uma função
que muda de comportamento no tempo
. A transformada de Laplace é uma técnica que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando muito resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar dividir a função em duas partes e calcular a transformada de cada uma separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição da transformada de Laplace:
Como
muda em
, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 3 e de 3 até o infinito.
Passo 3
Para
,
. Então, a primeira parte da transformada fica:
Essa integral é direta e resolve para:
Passo 4
Agora, para
,
. A segunda parte da transformada é:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes ou consultamos a tabela de transformadas de Laplace, sabendo que:
Mas como a função começa em
, usamos a propriedade do deslocamento no tempo:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes da transformada:
Isso simplifica para:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Determine o comprimento das curvas.
(a) com
(a)
Existe uma transformação linear
de
tal que
e $T(1,1,1)=(0,1) ?
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
, onde