Determine o comprimento dos eixos transverso e conjugado da hipérbole dada pela equação (x-2)^264-(y+1)^236=1 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação de uma hipérbole: (x-2)^264-(y+1)^236=1. Nosso objetivo aqui é descobrir o comprimento dos eixos transverso e conjugado dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer a forma padrão da equação da hipérbole e entender o que são esses eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole que abre na horizontal:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Nessa equação, (h,k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo transverso, e b está relacionado ao eixo conjugado.

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação que nos foi dada com a forma padrão:
(x-2)^264 - (y+1)^236 = 1
Aqui, podemos identificar que:
  • h = 2
  • k = -1
  • a^2 = 64 então a = raiz64 = 8
  • b^2 = 36 então b = raiz36 = 6

Passo 4

Com os valores de a e b em mãos, podemos calcular os comprimentos dos eixos:
  • Eixo Transverso: É o eixo que passa pelos vértices da hipérbole. O comprimento dele é 2a.
2a = 2 times 8 = 16
  • Eixo Conjugado: É o eixo perpendicular ao transverso no centro da hipérbole. O comprimento dele é 2b.
2b = 2 times 6 = 12

Resposta

O comprimento do eixo transverso é 16 unidades e o comprimento do eixo conjugado é 12 unidades.

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