Determine o comprimento do gráfico da função y = x^(3/2) do ponto 1,1 ao ponto (2, 2 * raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função entre os pontos e . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos. A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a , e e são os limites de integração, que nesse caso são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . Para isso, usamos a regra do poder:

Passo 4

Com a derivada encontrada, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que facilita o cálculo. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 7

Agora, ajustamos os limites de integração para . Quando :
E quando :

Passo 8

Substituindo tudo na integral:

Passo 9

Resolvendo a integral:
Então,

Resposta

O comprimento do gráfico da função entre os pontos e é:

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