Determine o comprimento do gráfico da função
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
, e
e
são os limites de integração, que nesse caso são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Para isso, usamos a regra do poder:
Passo 4
Com a derivada encontrada, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que facilita o cálculo. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, ajustamos os limites de integração para
. Quando
:
E quando
:
Passo 8
Substituindo tudo na integral:
Passo 9
Resolvendo a integral:
Então,
Resposta
O comprimento do gráfico da função
entre os pontos
e
é: