Determine o valor positivo k para que a equação abaixo seja satisfeita.
integral0^+infty 1x^2+k^2 d x=1
Sugestões:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor positivo de que faz com que a integral seja igual a 1. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais impróprias e funções racionais. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração para essa função. Sabemos que:
integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C
onde integral 1x^2 + k^2 , dx = 1k tan^-1(xk) + C é a constante de integração. Nesse caso, , então nossa integral fica:

Passo 3

Como a integral é de 0 até [ 1k tan^-1(xk) ]0^+infty = 1k ( tan^-1(+inftyk) - tan^-1(0k) ) , precisamos calcular os limites dessa função antiderivada nessas extremidades:
1k ( pi2 - 0 ) = pi2k
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, queremos que essa expressão seja igual a 1:
pi2k = 1
Vamos resolver para k = pi2 :

Resposta

O valor positivo de que satisfaz a equação é .

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