g(r) = (2 * r^4 + 3 * r^2 + 1)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos deu a função . O que a gente precisa fazer aqui provavelmente é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivação de funções compostas, que envolve a regra da cadeia. Então, vamos passo a passo entender e aplicar essa regra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Aqui temos algo do tipo , onde e . Quando a função está assim, a gente precisa aplicar a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se você tem uma função composta , a derivada dela é . No nosso caso, e . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é (usando a regra do poder: ).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (constante).
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é:
Isso significa que multiplicamos a derivada externa pela derivada interna.

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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