Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por
e
é rotacionada em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada ao redor do eixo
. Vamos usar o método dos discos ou anéis pra calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas pra entender melhor a região que estamos trabalhando. A função
é uma parábola que abre para a direita. A linha
é uma reta horizontal, e
é o eixo
. A interseção de
com
acontece quando
, ou seja,
. Então, nossa região está entre
e
, de
a
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, é mais fácil usar o método dos discos, que envolve integrar em relação a
. Nesse método, o volume
é dado por:
onde
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração.
Passo 4
Precisamos expressar
em função de
. A função
pode ser reescrita como
. Como a região está limitada por
(o eixo
), o raio
é simplesmente a distância do eixo
até a curva, ou seja,
.
Passo 5
Agora, identificamos os limites de integração. A região vai de
até
. Então,
e
.
Passo 6
Vamos substituir tudo na fórmula do volume:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Aplicamos os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.