Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = raiz(x), y = 2 e x = 0 é rotacionada em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada ao redor do eixo . Vamos usar o método dos discos ou anéis pra calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas pra entender melhor a região que estamos trabalhando. A função é uma parábola que abre para a direita. A linha é uma reta horizontal, e é o eixo . A interseção de com acontece quando , ou seja, . Então, nossa região está entre e , de a .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos, que envolve integrar em relação a . Nesse método, o volume é dado por:
onde é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração.

Passo 4

Precisamos expressar em função de . A função pode ser reescrita como . Como a região está limitada por (o eixo ), o raio é simplesmente a distância do eixo até a curva, ou seja, .

Passo 5

Agora, identificamos os limites de integração. A região vai de até . Então, e .

Passo 6

Vamos substituir tudo na fórmula do volume:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Aplicamos os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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