Encontre a área da regiāo delimitada por y = x^2 + 1, y = x, x = -1 e x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , , e pelas retas verticais e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre como calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se interceptam e depois montar a integral correta para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as curvas e se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais. Isso significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a curva está sempre abaixo da no intervalo considerado.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. Estamos interessados entre e . Como está acima de nesse intervalo, a área entre elas pode ser encontrada subtraindo a integral da função de baixo da função de cima, de a .

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular um valor definido.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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