Encontre a área da regiāo delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre como calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se interceptam e depois montar a integral correta para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as curvas
e
se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais. Isso significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a curva
está sempre abaixo da
no intervalo considerado.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. Estamos interessados entre
e
. Como
está acima de
nesse intervalo, a área entre elas pode ser encontrada subtraindo a integral da função de baixo da função de cima, de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular um valor definido.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.