Determine o comprimento das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso vai nos dar a velocidade vetorial da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar. A magnitude é dada por:
Passo 4
Para encontrar o comprimento da curva, integramos essa magnitude de
até
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando os dois resultados:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
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da reta tangente a curva no ponto especificado.