Determine o comprimento das seguintes curvas:
r(t) = 2t i + t^2 j + 1/3 t^3 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso vai nos dar a velocidade vetorial da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar. A magnitude é dada por:

Passo 4

Para encontrar o comprimento da curva, integramos essa magnitude de até :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando os dois resultados:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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