Determine a derivada das seguintes funções vetoriais. r(t) = (tan(t), sec(t), 1/t^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função vetorial . Isso envolve calcular a derivada de cada componente da função vetorial. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como tan t e sec(t), além de funções racionais como .

Passo 2

Primeiro, lembremos que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, se , então a derivada será .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente: . A derivada de tan t é . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . A derivada de sec(t) é . Portanto:

Passo 5

Por último, vamos derivar a terceira componente: . É mais fácil se reescrevemos isso como e aplicamos a regra do poder. A derivada de é , que pode ser escrito como . Então:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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