Determine os comprimentos dos raios focais do ponto P=(3, 74) sobre a elipse 7 x^2+ 16 y^2=112.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir os comprimentos dos raios focais do ponto sobre a elipse dada pela equação . Estamos lidando com elipses nessa questão, e para resolver, vamos precisar lembrar como encontrar os focos de uma elipse e calcular as distâncias entre esses focos e o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A equação geral de uma elipse é 7x^2112 + 16y^2112 = 112112 , onde x^216 + y^27 = 1 e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Então, dividimos os dois lados da equação original por 112:
Simplificando:
Agora, vemos que e , então e .

Passo 3

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula c = raiz16 - 7 = raiz9 = 3 , onde é a distância do centro aos focos. Vamos calcular :
Então, os focos estão localizados a uma distância de 3 unidades do centro da elipse ao longo do eixo maior.

Passo 4

A equação da elipse está centrada na origem (0,0), já que não há termos de deslocamento. Como o termo está sobre , o eixo maior está no eixo . Portanto, os focos estão nos pontos e , ou seja, e .

Passo 5

Agora que temos os focos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e , vamos calcular as distâncias do ponto a cada um desses focos. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 6

Calculando a distância de d1 = raiz(3 - 3)^2 + (74 - 0)^2 = raiz0 + (74)^2 = 74 ao primeiro foco :

Passo 7

Calculando a distância de d2 = raiz(3 - (-3))^2 + (74 - 0)^2 = raiz(6)^2 + (74)^2 = raiz36 + 4916 = raiz57616 + 4916 = raiz62516 = 254 ao segundo foco :

Resposta

Os comprimentos dos raios focais do ponto sobre a elipse são unidades e unidades.

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