Determine os comprimentos dos raios focais do ponto sobre a elipse .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir os comprimentos dos raios focais do ponto sobre a elipse dada pela equação . Estamos lidando com elipses nessa questão, e para resolver, vamos precisar lembrar como encontrar os focos de uma elipse e calcular as distâncias entre esses focos e o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A equação geral de uma elipse é , onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Então, dividimos os dois lados da equação original por 112:
Simplificando:
Agora, vemos que e , então e .

Passo 3

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula , onde é a distância do centro aos focos. Vamos calcular :
Então, os focos estão localizados a uma distância de 3 unidades do centro da elipse ao longo do eixo maior.

Passo 4

A equação da elipse está centrada na origem (0,0), já que não há termos de deslocamento. Como o termo está sobre , o eixo maior está no eixo . Portanto, os focos estão nos pontos e , ou seja, e .

Passo 5

Agora que temos os focos e , vamos calcular as distâncias do ponto a cada um desses focos. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 6

Calculando a distância de ao primeiro foco :

Passo 7

Calculando a distância de ao segundo foco :

Resposta

Os comprimentos dos raios focais do ponto sobre a elipse são unidades e unidades.

Exercícios relacionados

Determine o valor de para que o determinante da matriz seja igual a 5 .
Se e , fog e gof é igual a:
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a) e
b) e .
Se
determine