Determine os comprimentos dos raios focais do ponto
sobre a elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir os comprimentos dos raios focais do ponto
sobre a elipse dada pela equação
. Estamos lidando com elipses nessa questão, e para resolver, vamos precisar lembrar como encontrar os focos de uma elipse e calcular as distâncias entre esses focos e o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A equação geral de uma elipse é
, onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Então, dividimos os dois lados da equação original por 112:
Simplificando:
Agora, vemos que
e
, então
e
.
Passo 3
Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula
, onde
é a distância do centro aos focos. Vamos calcular
:
Então, os focos estão localizados a uma distância de 3 unidades do centro da elipse ao longo do eixo maior.
Passo 4
A equação da elipse está centrada na origem (0,0), já que não há termos de deslocamento. Como o termo
está sobre
, o eixo maior está no eixo
. Portanto, os focos estão nos pontos
e
, ou seja,
e
.
Passo 5
Agora que temos os focos
e
, vamos calcular as distâncias do ponto
a cada um desses focos. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 6
Calculando a distância de
ao primeiro foco
:
Passo 7
Calculando a distância de
ao segundo foco
:
Resposta
Os comprimentos dos raios focais do ponto
sobre a elipse são
unidades e
unidades.