Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a) X=(1,-3,4)+alpha(1,0,3)+beta(0,1,3) e X=(0,0,0)+alpha(1,1,6)+beta(1,-1,0)
b) X=(4,3,1)+alpha(-1,0,-1)+beta(3,1,0) e y-3 z=10.

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício que pede para verificar se dois planos são perpendiculares em dois casos diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores normais dos planos e o produto escalar entre eles. Precisamos identificar os vetores normais de cada plano e ver se eles são perpendiculares. Se o produto escalar for zero, os planos são perpendiculares.

Passo 2

Caso a)
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada plano:
  • Plano 1: n1 = u1 times v1 = i & j & k 1 & 0 & 3 0 & 1 & 3 = ( -3, -3, 1 )
    • Vetores diretores: n2 = u2 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 6 1 & -1 & 0 = (6, 6, -2) e
  • Plano 2:
    • Vetores diretores: e
Para encontrar o vetor normal de cada plano, usamos o produto vetorial dos vetores diretores.
Vetor normal do Plano 1:
Vetor normal do Plano 2:

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores normais n1 cdot n2 = (-3)(6) + (-3)(6) + (1)(-2) = -18 -18 -2 = -38 e são perpendiculares. Para isso, calculamos o produto escalar entre eles:
Como o produto escalar não é zero ( ), os planos não são perpendiculares no caso a).

Passo 4

Caso b)
Aqui temos um plano parametrizado e outro na forma implícita:
  • Plano 1: n1 = u times v = i & j & k -1 & 0 & -1 3 & 1 & 0 = (1,-3, -1)
    • Vetores diretores: e
  • Plano 2:
    • Esta é a equação implícita de um plano. O vetor normal pode ser extraído diretamente dos coeficientes:
Primeiro, encontramos o vetor normal do Plano 1 usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Vetor normal do Plano 1:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre n1 cdot n2 = (1)(0) + (-3)(1) + (-1)(-3) = 0 -3 +3 = 0 e :
Como o produto escalar é zero ( ), os planos são perpendiculares no caso b).

Resposta

a) Os planos não são perpendiculares.
b) Os planos são perpendiculares.

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