• Determine uma condição que a, b e c devem satisfazer de modo que (a, b, c) seja uma combinação linear de u=(2,-6,4) e v=(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar uma condição para os números , e de forma que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso está relacionado ao tema de combinação linear em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e descobrir quais valores de , e fazem esse sistema ter solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, dizer que (a, b, c) = s cdot u + t cdot v é uma combinação linear de (a, b, c) = s cdot (2, -6, 4) + t cdot (2, -1, 1) e significa que existem números (escalares) e tais que:
Ou seja,
Isso dá três equações, uma para cada componente do vetor.

Passo 3

Vamos escrever essas equações separadamente:
2s + 2t = a (componente x) -6s - t = b (componente y) 4s + t = c (componente z)
Agora, temos um sistema linear com duas variáveis ( e ) e três equações. Para que esse sistema tenha solução, deve haver consistência entre as equações.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre -6s - t = b Rightarrow t = -6s - b , 4s + (-6s - b) = c 4s - 6s - b = c -2s - b = c -2s = c + b s = -c + b2 e t = -6(-c + b2) - b t = 3(c + b) - b t = 3c + 3b - b t = 3c + 2b . Primeiro, podemos resolver as equações 2 e 3 para e .
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituímos na expressão que encontramos para :
Agora que temos e em termos de e , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar a condição.

Passo 5

Substituindo 2(-c + b2) + 2(3c + 2b) = a - (c + b) + 6c + 4b = a - c - b + 6c + 4b = a 5c + 3b = a e a = 5c + 3b na primeira equação:
Portanto, a condição que , e devem satisfazer para que seja uma combinação linear de e é:

Resposta

A condição é que a = 5c + 3b seja igual a . Ou seja,

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