Determine uma condição que e devem satisfazer de modo que seja uma combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar uma condição para os números , e de forma que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso está relacionado ao tema de combinação linear em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e descobrir quais valores de , e fazem esse sistema ter solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, dizer que é uma combinação linear de e significa que existem números (escalares) e tais que:
Ou seja,
Isso dá três equações, uma para cada componente do vetor.
Passo 3
Vamos escrever essas equações separadamente:
Agora, temos um sistema linear com duas variáveis ( e ) e três equações. Para que esse sistema tenha solução, deve haver consistência entre as equações.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre , e . Primeiro, podemos resolver as equações 2 e 3 para e .
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituímos na expressão que encontramos para :
Agora que temos e em termos de e , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar a condição.
Passo 5
Substituindo e na primeira equação:
Portanto, a condição que , e devem satisfazer para que seja uma combinação linear de e é: