Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear , encontrar seus autovalores e autovetores correspondentes, e também fornecer uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Estamos trabalhando com matrizes e conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como as transformações lineares agem em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear como uma matriz. O operador está definido por:
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade e é um escalar (autovalor).
Subtraindo da matriz :

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Primeiro, multiplicamos os termos:
Então:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo:
Essas equações são equivalentes, então podemos expressar . Tomando , temos . Portanto, um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvendo:
Novamente, as equações são equivalentes, então . Tomando , temos . Portanto, um autovetor correspondente é:

Passo 7

Agora, vamos determinar as bases e as dimensões dos auto-espaços. Cada autovetor forma um auto-espaço, que é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, juntamente com o vetor nulo.
Para :
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.
Para :
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico do operador é . Os autovalores são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Cada auto-espaço tem dimensão 1 e é gerado pelas respectivas bases e .

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c) e .
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Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(k) .