Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear
, encontrar seus autovalores e autovetores correspondentes, e também fornecer uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Estamos trabalhando com matrizes e conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como as transformações lineares agem em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador linear
como uma matriz. O operador
está definido por:
Isso significa que a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico
é dado por:
onde
é a matriz identidade e
é um escalar (autovalor).
Subtraindo
da matriz
:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Primeiro, multiplicamos os termos:
Então:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação
:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo:
Essas equações são equivalentes, então podemos expressar
. Tomando
, temos
. Portanto, um autovetor correspondente é:
Para
:
Resolvendo:
Novamente, as equações são equivalentes, então
. Tomando
, temos
. Portanto, um autovetor correspondente é:
Passo 7
Agora, vamos determinar as bases e as dimensões dos auto-espaços. Cada autovetor forma um auto-espaço, que é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, juntamente com o vetor nulo.
Para
:
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.
A base do auto-espaço é
Para
:
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.
A base do auto-espaço é
Resposta
O polinômio característico do operador
é
. Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes são
para
e
para
. Cada auto-espaço tem dimensão 1 e é gerado pelas respectivas bases
e
.