Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(d) T(x, y)=(2 x+3 y,-x-2 y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear , encontrar seus autovalores e autovetores correspondentes, e também fornecer uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Estamos trabalhando com matrizes e conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como as transformações lineares agem em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear T(x, y) = (2x + 3y, -x - 2y) como uma matriz. O operador A = 2 & 3 -1 & -2 está definido por:
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
A - lambda I = 2 - lambda & 3 -1 & -2 - lambda
onde é a matriz identidade e é um escalar (autovalor).
Subtraindo da matriz :

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (3)(-1)
= (2 - lambda)(-2 - lambda) + 3
Primeiro, multiplicamos os termos:
(2 - lambda)(-2 - lambda) = -4 - 2lambda + 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 4 + 3 = lambda^2 - 1
Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 1

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação lambda^2 - 1 = 0 :
lambda^2 = 1
lambda = pm 1
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - I = 2 - 1 & 3 -1 & -2 - 1 = 1 & 3 -1 & -3 , resolvemos x + 3y = 0 -x - 3y = 0 , onde v1 = -3 1 é o autovetor.
Para A - (-1)I = 2 + 1 & 3 -1 & -2 + 1 = 3 & 3 -1 & -1 :
3x + 3y = 0 -x - y = 0
Resolvendo:
v2 = -1 1
Essas equações são equivalentes, então podemos expressar . Tomando , temos . Portanto, um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvendo:
Novamente, as equações são equivalentes, então . Tomando , temos . Portanto, um autovetor correspondente é:

Passo 7

Agora, vamos determinar as bases e as dimensões dos auto-espaços. Cada autovetor forma um auto-espaço, que é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, juntamente com o vetor nulo.
Para :
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.
Para :
A base do auto-espaço é , e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico do operador -3 1 é -1 1 . Os autovalores são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Cada auto-espaço tem dimensão 1 e é gerado pelas respectivas bases e .

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