Encontre a equação geral do plano que contém as retas r: y=2 x-3 e z=-x+2; s: x-13=z-1-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar das equações das retas e entender que um plano é definido por duas retas que não são paralelas.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta r:
y = 2x - 3 e z = -x + 2
Podemos colocar essa reta em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de x = t y = 2t - 3 z = -t + 2 :
Assim, o vetor diretor da reta r é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta s:
x - 13 = z - 1-1
Essa equação também pode ser escrita em forma paramétrica. Chamando o parâmetro de x = 1 + 3lambda y = y (não está especificado, então pode ser qualquer valor) z = 1 - lambda :
ãáã
O vetor diretor da reta s é .

Passo 4

Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas, precisamos de:
  1. Um ponto que esteja no plano.
  2. Um vetor normal ao plano.
Vamos escolher um ponto na reta r. Por exemplo, quando P(0, -3, 2) :

Passo 5

O vetor normal ao plano pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores diretores das retas r e s:
n = vr times vs = i & j & k 1 & 2 & -1 3 & 0 & -1
Calculando o determinante:
n = i (2 cdot (-1) - (-1) cdot 0) - j (1 cdot (-1) - (-1) cdot 3) + k (1 cdot 0 - 2 cdot 3) n = i (-2) - j (2) + k (-6) n = (-2, -2, -6)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:
n = (1, 1, 3)

Passo 6

Agora, usando o ponto 1(x - 0) + 1(y + 3) + 3(z - 2) = 0 x + y + 3z + 3 - 6 = 0 x + y + 3z - 3 = 0 e o vetor normal , podemos montar a equação do plano:

Resposta

A equação geral do plano é .

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