Encontre a equação geral do plano que contém as retas r: e ;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar das equações das retas e entender que um plano é definido por duas retas que não são paralelas.
Passo 2
Vamos começar analisando a reta r:
Podemos colocar essa reta em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Assim, o vetor diretor da reta r é .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta s:
Essa equação também pode ser escrita em forma paramétrica. Chamando o parâmetro de :
O vetor diretor da reta s é .
Passo 4
Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas, precisamos de:
Um ponto que esteja no plano.
Um vetor normal ao plano.
Vamos escolher um ponto na reta r. Por exemplo, quando :
Passo 5
O vetor normal ao plano pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores diretores das retas r e s:
Calculando o determinante:
n = i (2 cdot (-1) - (-1) cdot 0) - j (1 cdot (-1) - (-1) cdot 3) + k (1 cdot 0 - 2 cdot 3) n = i (-2) - j (2) + k (-6) n = (-2, -2, -6)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:
n = (1, 1, 3)
Passo 6
Agora, usando o ponto 1(x - 0) + 1(y + 3) + 3(z - 2) = 0 x + y + 3z + 3 - 6 = 0 x + y + 3z - 3 = 0 e o vetor normal , podemos montar a equação do plano: