Encontre a equação geral do plano que contém as retas r: e ;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar das equações das retas e entender que um plano é definido por duas retas que não são paralelas.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta r:
Podemos colocar essa reta em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Assim, o vetor diretor da reta r é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta s:
Essa equação também pode ser escrita em forma paramétrica. Chamando o parâmetro de :
ãáã
O vetor diretor da reta s é .

Passo 4

Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas, precisamos de:
  1. Um ponto que esteja no plano.
  2. Um vetor normal ao plano.
Vamos escolher um ponto na reta r. Por exemplo, quando :

Passo 5

O vetor normal ao plano pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores diretores das retas r e s:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:

Passo 6

Agora, usando o ponto e o vetor normal , podemos montar a equação do plano:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Seja o vetor diretor da reta e , determine a equação vetorial da reta .
Seja,
Encontre (Estamos nos espaços e ). Determine bases para esses espaços.
Determine a equaçâo do plano que contém o ponto e é paralelo ao plano .
Determine a condição em e para que o sistema abaixo admita solução: