Determine as coordenadas do ponto P1, simétrico de P=(1,1,-2) em relação à reta s: x+1=y-1=z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos encontrar as coordenadas do ponto , que é o simétrico do ponto em relação à reta . Para isso, vamos usar conceitos de simetria em relação a uma reta no espaço tridimensional. Precisaremos trabalhar com vetores, projeções e coordenadas paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x = t - 1 y = t + 1 z = t para facilitar nossos cálculos. A equação pode ser escrita em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de , então:
Aqui, varia sobre todos os números reais, e cada valor de nos dá um ponto na reta . O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Para encontrar o ponto , que é o simétrico de em relação à reta , precisamos primeiro encontrar o ponto de projeção de na reta . Esse ponto de projeção, vamos chamar de , é o ponto na reta mais próximo de .
Vamos considerar um ponto geral na reta , dado por . Queremos encontrar o valor de que faz com que o vetor seja perpendicular ao vetor diretor .

Passo 4

O vetor PQ(t) = Q(t) - P = (t - 1 - 1, t + 1 - 1, t - (-2)) = (t - 2, t, t + 2) é dado por:
PQ(t) cdot v = (t - 2)(1) + (t)(1) + (t + 2)(1) = t - 2 + t + t + 2 = 3t = 0
Para que 3t = 0 implies t = 0 seja perpendicular a , o produto escalar entre eles deve ser zero:
Resolvendo para :

Passo 5

Com Q(0) = (0 - 1, 0 + 1, 0) = (-1, 1, 0) , encontramos as coordenadas de Q é o ponto médio entre P e P1 :
P1 = 2Q - P = 2(-1, 1, 0) - (1, 1, -2) = (-2, 2, 0) - (1, 1, -2) = (-3, 1, 2)
Agora, para encontrar o ponto simétrico , usamos a relação de simetria em relação ao ponto de projeção . Sabemos que:
éé
Portanto:

Resposta

As coordenadas do ponto , simétrico de em relação à reta , são .

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