Determine as coordenadas do ponto , simétrico de em relação à reta .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos encontrar as coordenadas do ponto , que é o simétrico do ponto em relação à reta . Para isso, vamos usar conceitos de simetria em relação a uma reta no espaço tridimensional. Precisaremos trabalhar com vetores, projeções e coordenadas paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta para facilitar nossos cálculos. A equação pode ser escrita em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de , então:
Aqui, varia sobre todos os números reais, e cada valor de nos dá um ponto na reta . O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Para encontrar o ponto , que é o simétrico de em relação à reta , precisamos primeiro encontrar o ponto de projeção de na reta . Esse ponto de projeção, vamos chamar de , é o ponto na reta mais próximo de .
Vamos considerar um ponto geral na reta , dado por . Queremos encontrar o valor de que faz com que o vetor seja perpendicular ao vetor diretor .

Passo 4

O vetor é dado por:
Para que seja perpendicular a , o produto escalar entre eles deve ser zero:
Resolvendo para :

Passo 5

Com , encontramos as coordenadas de :
Agora, para encontrar o ponto simétrico , usamos a relação de simetria em relação ao ponto de projeção . Sabemos que:
éé
Portanto:

Resposta

As coordenadas do ponto , simétrico de em relação à reta , são .

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Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e .
Determine as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado do triângulo cujos vértices são e .
Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta .
Determine uma condição necessária e suficiente para que um plano seja ortogonal ao plano .