Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada por , onde é um número real. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . Na equação paramétrica da reta , o vetor é o vetor diretor. Esse vetor indica a direção em que a reta se move no espaço.
Passo 3
Agora, queremos uma reta que seja perpendicular à reta . Isso significa que o vetor diretor da nossa nova reta, que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor da reta . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser zero. Ou seja:
Passo 4
Vamos supor que o vetor diretor . Então, temos:
Isso nos dá a equação:
Essa é a condição que os componentes de devem satisfazer para que a reta seja perpendicular à reta .
Passo 5
Como temos uma equação com três incógnitas (), podemos escolher valores para duas delas e resolver para a terceira. Vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, um vetor diretor possível é .
Passo 6
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta que queremos. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde são as coordenadas do ponto pela qual a reta passa e são os componentes do vetor diretor.