Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(-1,4,5) e que é perpendicular à reta r: X=(-2,1,1)+t(1,-1,2), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada por , onde é um número real. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . Na equação paramétrica da reta , o vetor é o vetor diretor. Esse vetor indica a direção em que a reta se move no espaço.

Passo 3

Agora, queremos uma reta que seja perpendicular à reta u cdot v = 0 . Isso significa que o vetor diretor da nossa nova reta, que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor da reta . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser zero. Ou seja:

Passo 4

Vamos supor que o vetor diretor (1, -1, 2) cdot (a, b, c) = 1 cdot a + (-1) cdot b + 2 cdot c = 0 . Então, temos:
a - b + 2c = 0
Isso nos dá a equação:
Essa é a condição que os componentes de devem satisfazer para que a reta seja perpendicular à reta .

Passo 5

Como temos uma equação com três incógnitas ( 1 - 0 + 2c = 0 Rightarrow 1 + 2c = 0 Rightarrow c = -12 ), podemos escolher valores para duas delas e resolver para a terceira. Vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, um vetor diretor possível é .

Passo 6

Com o ponto x = x0 + at e o vetor diretor y = y0 + bt , podemos escrever as equações paramétricas da reta que queremos. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
z = z0 + ct
Onde são as coordenadas do ponto pela qual a reta passa e são os componentes do vetor diretor.

Passo 7

Substituindo os valores:
x = -1 + 1 cdot t
y = 4 + 0 cdot t
z = 5 - 12 cdot t
Então, as equações paramétricas da reta são:
x = -1 + t y = 4 z = 5 - 12t

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -1 + t y = 4 z = 5 - 12t
onde é um número real.

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