Determine a solução geral dos sistema massa-mola amortecido e forçado ( e ), sabendo que essa força de excitação tem a forma e . Assuma como condições iniciais e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema massa-mola amortecido e forçado. Isso significa que temos uma massa presa a uma mola que também tem um amortecedor, e além disso, está sendo puxada por uma força externa. No nosso caso, a massa , a constante da mola e o coeficiente de amortecimento .
O objetivo é encontrar a solução geral da posição da massa ao longo do tempo, que é a soma da solução homogênea e da solução particular . Para isso, precisamos resolver uma equação diferencial que descreve o sistema e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o sistema massa-mola amortecido e forçado. A equação geral é:
Substituindo os valores que temos:
Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução homogênea . Para isso, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Dividindo por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular para a força . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução particular na mesma forma:
Vamos derivar :
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de , e usando as condições dadas para a força :
Sabemos que:
Resolvendo as equações (4) e (5):
Da equação (4):
Substituindo na equação (5):
Então:
Agora, temos:

Passo 6

Com os valores de , e encontrados, podemos voltar às equações (1), (2) e (3) para encontrar , e :
Calculando:
áá
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Calculando :

Passo 7

Com , e determinados, a solução particular fica:

Passo 8

Agora, juntamos a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:

Passo 9

Por último, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Aplicando :

Resposta

A solução geral do sistema massa-mola amortecido e forçado é:

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    Latão