Determine a solução geral
dos sistema massa-mola amortecido e forçado (
e
), sabendo que essa força de excitação tem a forma
e
. Assuma como condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema massa-mola amortecido e forçado. Isso significa que temos uma massa presa a uma mola que também tem um amortecedor, e além disso, está sendo puxada por uma força externa. No nosso caso, a massa
, a constante da mola
e o coeficiente de amortecimento
.
O objetivo é encontrar a solução geral da posição
da massa ao longo do tempo, que é a soma da solução homogênea
e da solução particular
. Para isso, precisamos resolver uma equação diferencial que descreve o sistema e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o sistema massa-mola amortecido e forçado. A equação geral é:
Substituindo os valores que temos:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução homogênea
. Para isso, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a força
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução particular na mesma forma:
Vamos derivar
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
,
e
usando as condições dadas para a força
:
Sabemos que:
Resolvendo as equações (4) e (5):
Da equação (4):
Substituindo na equação (5):
Então:
Agora, temos:
Passo 6
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos voltar às equações (1), (2) e (3) para encontrar
,
e
:
Calculando:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Calculando
:
Passo 7
Com
,
e
determinados, a solução particular fica:
Passo 8
Agora, juntamos a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
Passo 9
Por último, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando
:
Resposta
A solução geral do sistema massa-mola amortecido e forçado é: