Determine a solução geral x(t)=xH(t)+xP(t) dos sistema massa-mola amortecido e forçado ( m=1 ; k=68 e c=4 ), sabendo que essa força de excitação tem a forma F(t)=alpha t^2+beta t+ gamma, com F(t=0)=0 ; F(t=1)=5 e F(t=2)=16. Assuma como condições iniciais x(0)=0 e dotx(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema massa-mola amortecido e forçado. Isso significa que temos uma massa presa a uma mola que também tem um amortecedor, e além disso, está sendo puxada por uma força externa. No nosso caso, a massa , a constante da mola e o coeficiente de amortecimento .
O objetivo é encontrar a solução geral da posição da massa ao longo do tempo, que é a soma da solução homogênea e da solução particular . Para isso, precisamos resolver uma equação diferencial que descreve o sistema e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o sistema massa-mola amortecido e forçado. A equação geral é:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = F(t)
Substituindo os valores que temos:
1 cdot d^2xdt^2 + 4 cdot dxdt + 68x = alpha t^2 + beta t + gamma
Ou seja:
d^2xdt^2 + 4dxdt + 68x = alpha t^2 + beta t + gamma

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução homogênea d^2xdt^2 + 4dxdt + 68x = 0 . Para isso, resolvemos a equação homogênea associada:
r^2 e^rt + 4r e^rt + 68 e^rt = 0
Assumimos uma solução da forma r^2 + 4r + 68 = 0 . Substituindo na equação:
r = -4 pm raiz16 - 2722 = -4 pm raiz-2562 = -4 pm 16i2 = -2 pm 8i
Dividindo por xH(t) = e^-2t(C1 cos(8t) + C2 sin(8t)) :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular xP(t) = At^2 + Bt + C para a força dxPdt = 2At + B . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução particular na mesma forma:
d^2xPdt^2 = 2A
Vamos derivar 2A + 4(2At + B) + 68(At^2 + Bt + C) = alpha t^2 + beta t + gamma :
2A + 8At + 4B + 68At^2 + 68Bt + 68C = alpha t^2 + beta t + gamma
68A t^2 + (8A + 68B) t + (2A + 4B + 68C) = alpha t^2 + beta t + gamma
Substituindo 68A = alpha (1) e suas derivadas na equação diferencial:
8A + 68B = beta (2)
Simplificando:
2A + 4B + 68C = gamma (3)
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de F(t) = alpha t^2 + beta t + gamma , F(0) = 0 Rightarrow 0 = 0 + 0 + gamma Rightarrow gamma = 0 e F(1) = 5 Rightarrow 5 = alpha(1)^2 + beta(1) + 0 Rightarrow alpha + beta = 5 (4) usando as condições dadas para a força F(2) = 16 Rightarrow 16 = alpha(2)^2 + beta(2) + 0 Rightarrow 4alpha + 2beta = 16 (5) :
alpha = 5 - beta
Sabemos que:
4(5 - beta) + 2beta = 16 Rightarrow 20 - 4beta + 2beta = 16 Rightarrow -2beta = -4 Rightarrow beta = 2
alpha = 5 - 2 = 3
alpha = 3, beta = 2, gamma = 0
Resolvendo as equações (4) e (5):
Da equação (4):
Substituindo na equação (5):
Então:
Agora, temos:

Passo 6

Com os valores de 68A = 3 Rightarrow A = 368 , 8A + 68B = 2 Rightarrow 8(368) + 68B = 2 Rightarrow 2468 + 68B = 2 Rightarrow 68B = 2 - 2468 = 136 - 2468 = 11268 = 2817 Rightarrow B = 2817 cdot 68 = 281156 = 7289 e 2A + 4B + 68C = 0 Rightarrow 2(368) + 4(7289) + 68C = 0 Rightarrow 668 + 28289 + 68C = 0 encontrados, podemos voltar às equações (1), (2) e (3) para encontrar 668 = 334, 28289 já está simplificado , 3 cdot 28934 + 28 + 68 cdot 289 C = 0 e 3 cdot 8.5 + 28 + 19652 C = 0 Rightarrow 25.5 + 28 + 19652 C = 0 Rightarrow 53.5 + 19652 C = 0 Rightarrow 19652 C = -53.5 Rightarrow C = -53.519652 = -10739304 :
Calculando:
áá
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Calculando :

Passo 7

Com xP(t) = 368 t^2 + 7289 t - 10739304 , e determinados, a solução particular fica:

Passo 8

Agora, juntamos a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
x(t) = e^-2t ( C1 cos(8t) + C2 sin(8t) ) + 368 t^2 + 7289 t - 10739304

Passo 9

Por último, aplicamos as condições iniciais para encontrar 0 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + 368 cdot 0 + 7289 cdot 0 - 10739304 Rightarrow 0 = C1 - 10739304 e C1 = 10739304 .
Primeira condição: dotx(t) = -2e^-2t ( C1 cos(8t) + C2 sin(8t) ) + e^-2t ( -8 C1 sin(8t) + 8 C2 cos(8t) ) + 668 t + 7289
1 = -2 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + ( -8 C1 sin(0) + 8 C2 cos(0) ) + 0 + 7289
1 = -2 C1 + 8 C2 + 7289
Segunda condição: 8 C2 = 1 + 2 C1 - 7289
Primeiro, derivamos 8 C2 = 1 + 2 ( 10739304 ) - 7289 :
8 C2 approx 1 + 0.005444 - 0.024223 approx 0.981221
Aplicando C2 approx 0.9812218 approx 0.122652 :

Resposta

A solução geral do sistema massa-mola amortecido e forçado é:
x(t) = e^-2t ( 10739304 cos(8t) + 0.122652 sin(8t) ) + 368 t^2 + 7289 t - 10739304

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