Determine condições sobre e de modo que pertença ao espaço gerado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quais valores de e fazem o vetor pertencer ao espaço gerado pelos vetores , e .
Isso significa que queremos encontrar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte em . Para resolver isso, vamos precisar mexer com sistemas de equações lineares e entender um pouquinho sobre espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar um sistema de equações que representa a combinação linear dos vetores para chegar em . Ou seja, queremos encontrar números tais que:
Substituindo os vetores:
Isso resulta nas seguintes equações para cada coordenada:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar uma relação entre y = a - 2x e x - (a - 2x) + 3z = b x - a + 2x + 3z = b 3x + 3z = a + b x + z = a + b3 (dividindo tudo por 3) . Vamos usar o método de substituição.
Primeiro, da primeira equação, podemos isolar 2(a - 2x) - 4z = c 2a - 4x - 4z = c -4x - 4z = c - 2a x + z = -c + 2a4 (dividindo tudo por -4) :
Substituindo na segunda equação:
Agora, vamos substituir na terceira equação:
Passo 4
Agora temos duas expressões para x + z = a + b3 x + z = -c + 2a4 :
a + b3 = -c + 2a4
Para que o sistema tenha solução, essas duas expressões devem ser iguais: