Determine condições sobre a, b e c de modo que (a, b, c) in R^3 pertença ao espaço gerado pelos vetores u=(2,1,0), v=(1,-1,2) e w=(0,3,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quais valores de e fazem o vetor pertencer ao espaço gerado pelos vetores , e .
Isso significa que queremos encontrar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte em . Para resolver isso, vamos precisar mexer com sistemas de equações lineares e entender um pouquinho sobre espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar um sistema de equações que representa a combinação linear dos vetores x cdot u + y cdot v + z cdot w = (a, b, c) para chegar em x cdot (2, 1, 0) + y cdot (1, -1, 2) + z cdot (0, 3, -4) = (a, b, c) . Ou seja, queremos encontrar números 2x + y = a x - y + 3z = b 2y - 4z = c tais que:
Substituindo os vetores:
Isso resulta nas seguintes equações para cada coordenada:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar uma relação entre y = a - 2x e x - (a - 2x) + 3z = b x - a + 2x + 3z = b 3x + 3z = a + b x + z = a + b3 (dividindo tudo por 3) . Vamos usar o método de substituição.
Primeiro, da primeira equação, podemos isolar 2(a - 2x) - 4z = c 2a - 4x - 4z = c -4x - 4z = c - 2a x + z = -c + 2a4 (dividindo tudo por -4) :
Substituindo na segunda equação:
Agora, vamos substituir na terceira equação:

Passo 4

Agora temos duas expressões para x + z = a + b3 x + z = -c + 2a4 :
a + b3 = -c + 2a4
Para que o sistema tenha solução, essas duas expressões devem ser iguais:
4(a + b) = 3(-c + 2a) 4a + 4b = -3c + 6a 4b + 3c = 6a - 4a 4b + 3c = 2a
Vamos resolver essa equação para encontrar a condição entre e :
Multiplicando ambos os lados por 12 (mínimo múltiplo comum de 3 e 4) para eliminar os denominadores:

Resposta

A condição necessária é que 2a = 4b + 3c . Ou seja, para que pertença ao espaço gerado por e , deve-se ter:

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