Sejam u=(3,2,-1), v=(0,3,2) e w=(2,2,3). Calcule:
Calcule o ângulo aproximado entre os vetores v e u, v e w, u e w

Passo 1

Beleza, então a gente tem três vetores: u = (3, 2, -1), v = (0, 3, 2) e w = (2, 2, 3). A parada aqui é calcular os ângulos entre cada par desses vetores: entre v e u, entre v e w, e entre u e w. Vamos usar a matéria de álgebra vetorial, especificamente a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre dois vetores a e b:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b||
Aqui, a cdot b é o produto escalar dos vetores, e ||a|| e ||b|| são as magnitudes (tamanhos) dos vetores. Depois de encontrar cos(theta), usamos a função arco cosseno para achar o ângulo theta.

Passo 3

Vamos calcular o ângulo entre v e u. Primeiro, encontramos o produto escalar:
v cdot u = (0)(3) + (3)(2) + (2)(-1) = 0 + 6 - 2 = 4
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
||v|| = raiz0^2 + 3^2 + 2^2 = raiz0 + 9 + 4 = raiz13
||u|| = raiz3^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14
Então, temos:
cos(theta) = 4raiz13 , raiz14 = 4raiz182 approx 413.49 approx 0.296
Finalmente, encontramos o ângulo:
theta approx arccos(0.296) approx 72.6^circ

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre v e w. Primeiro, o produto escalar:
v cdot w = (0)(2) + (3)(2) + (2)(3) = 0 + 6 + 6 = 12
Magnitudes:
||v|| = raiz0^2 + 3^2 + 2^2 = raiz13 approx 3.605
||w|| = raiz2^2 + 2^2 + 3^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17 approx 4.123
Então:
cos(theta) = 123.605 times 4.123 approx 1214.86 approx 0.807
E o ângulo:
theta approx arccos(0.807) approx 36.3^circ

Passo 5

Por último, vamos ver o ângulo entre u e w. Produto escalar:
u cdot w = (3)(2) + (2)(2) + (-1)(3) = 6 + 4 - 3 = 7
Magnitudes:
||u|| = raiz3^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz14 approx 3.742
||w|| = raiz17 approx 4.123
Então:
cos(theta) = 73.742 times 4.123 approx 715.43 approx 0.454
E o ângulo:
theta approx arccos(0.454) approx 63.3^circ

Resposta

Os ângulos aproximados são:
  • Entre v e u: 72,6^circ
  • Entre v e w: 36,3^circ
  • Entre u e w: 63,3^circ

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