Determine condições sobre os números e para que as retas e sejam paralelas mas não coincidentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas dadas pelas equações:
Precisamos encontrar os valores de e que fazem essas retas serem paralelas, mas não coincidentes. Isso envolve conhecimentos sobre equações de retas e condições para paralelismo.

Passo 2

Vamos começar simplificando a primeira equação para deixar isolado, facilitando a comparação com a segunda reta. Dividindo ambos os lados da primeira equação por 2:
Agora, podemos reescrever as duas retas da seguinte forma:

Passo 3

Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares (ou seja, os valores que multiplicam ) devem ser iguais. Vamos identificar os coeficientes angulares de cada reta:
  • Coeficiente angular da primeira reta:
  • Coeficiente angular da segunda reta:
Igualando os coeficientes angulares para que as retas sejam paralelas:

Passo 4

Resolvendo a equação para encontrar o valor de :
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Então, descobrimos que para que as retas tenham o mesmo coeficiente angular e, portanto, sejam paralelas.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que as retas não sejam coincidentes, ou seja, que não sejam exatamente a mesma reta. Para isso, além dos coeficientes angulares iguais, as interseções com o eixo devem ser diferentes.
Vamos identificar as interseções com o eixo de cada reta:
  • Interseção da primeira reta:
  • Interseção da segunda reta:
Para que as retas não coincidam, temos que:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

As condições são e . Ou seja, para que as retas e sejam paralelas mas não coincidentes, deve ser igual a 4 e deve ser diferente de 8.

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