Determine condições sobre os números
e
para que as retas
e
sejam paralelas mas não coincidentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas dadas pelas equações:
Precisamos encontrar os valores de
e
que fazem essas retas serem paralelas, mas não coincidentes. Isso envolve conhecimentos sobre equações de retas e condições para paralelismo.
Passo 2
Vamos começar simplificando a primeira equação para deixar
isolado, facilitando a comparação com a segunda reta. Dividindo ambos os lados da primeira equação por 2:
Agora, podemos reescrever as duas retas da seguinte forma:
Passo 3
Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares (ou seja, os valores que multiplicam
) devem ser iguais. Vamos identificar os coeficientes angulares de cada reta:
- Coeficiente angular da primeira reta:
- Coeficiente angular da segunda reta:
Igualando os coeficientes angulares para que as retas sejam paralelas:
Passo 4
Resolvendo a equação
para encontrar o valor de
:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Então, descobrimos que
para que as retas tenham o mesmo coeficiente angular e, portanto, sejam paralelas.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que as retas não sejam coincidentes, ou seja, que não sejam exatamente a mesma reta. Para isso, além dos coeficientes angulares iguais, as interseções com o eixo
devem ser diferentes.
Vamos identificar as interseções com o eixo
de cada reta:
- Interseção da primeira reta:
- Interseção da segunda reta:
Para que as retas não coincidam, temos que:
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
As condições são
e
. Ou seja, para que as retas
e
sejam paralelas mas não coincidentes,
deve ser igual a 4 e
deve ser diferente de 8.
Exercícios relacionados
Mostre que o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
e
.
Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e formam, cada uma, um ângulo de
com a reta
.
Determine o subespaço
gerado pelos vetores de
.
Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por
e
. Justifique todas as suas respostas.