Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por u1 e u2. Justifique todas as suas respostas. v=g(x)=cos (2 x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , que geram um espaço vetorial. Nosso objetivo é verificar se o vetor pertence a esse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial gerado por v = au1 + bu2 e ? É o conjunto de todas as possíveis combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais).

Passo 3

Para verificar se pertence a esse espaço, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam a equação acima. Se conseguirmos encontrar tais valores, isso significa que está no espaço vetorial gerado por e .

Passo 4

Vamos montar a equação:
cos(2x) = au1 + bu2
Agora, precisamos saber quais são cos(2x) = acos(x) + bsin(x) e para prosseguir. Supondo que e , temos:

Passo 5

Para encontrar cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 e , podemos utilizar a identidade trigonométrica para :
Comparando com a combinação linear, percebemos que não é possível expressar apenas como uma combinação linear de e com coeficientes constantes e . Isso porque envolve , que não pode ser representada como uma combinação linear simples de e .

Resposta

O vetor não pertence ao espaço vetorial gerado por e , pois não é possível expressá-lo como uma combinação linear desses vetores.

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