Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por
e
. Justifique todas as suas respostas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que geram um espaço vetorial. Nosso objetivo é verificar se o vetor
pertence a esse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial gerado por
e
? É o conjunto de todas as possíveis combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como:
onde
e
são escalares (números reais).
Passo 3
Para verificar se
pertence a esse espaço, precisamos encontrar valores de
e
que satisfaçam a equação acima. Se conseguirmos encontrar tais valores, isso significa que
está no espaço vetorial gerado por
e
.
Passo 4
Vamos montar a equação:
Agora, precisamos saber quais são
e
para prosseguir. Supondo que
e
, temos:
Passo 5
Para encontrar
e
, podemos utilizar a identidade trigonométrica para
:
Comparando com a combinação linear, percebemos que não é possível expressar
apenas como uma combinação linear de
e
com coeficientes constantes
e
. Isso porque
envolve
, que não pode ser representada como uma combinação linear simples de
e
.
Resposta
O vetor
não pertence ao espaço vetorial gerado por
e
, pois não é possível expressá-lo como uma combinação linear desses vetores.