Mostre que o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor
e três vetores
,
e
. A pergunta é: será que conseguimos escrever
como uma combinação linear desses três vetores? Ou seja, precisamos ver se existem escalares
,
e
tais que:
Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares. Vamos precisar igualar os componentes de cada vetor e ver se conseguimos encontrar valores para
,
e
que satisfaçam todas as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a combinação linear dos vetores
,
e
. Multiplicando cada vetor pelos seus respectivos escalares:
Agora, somando essas expressões:
Passo 3
Igualando a combinação linear ao vetor
:
Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de
,
e
devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (2):
Agora, da equação (3):
Passo 5
Substituindo as expressões (4) e (5) na equação (1):
Vamos simplificar isso:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Acontece que chegamos a uma contradição:
, o que não faz sentido. Isso significa que não existe um conjunto de valores
,
e
que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
Portanto, o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e formam, cada uma, um ângulo de
com a reta
.
Determine escalares
e
para expressar
como combinação linear dos vetores
e
Determine condições sobre os números
e
para que as retas
e
sejam paralelas mas não coincidentes.
Determine o subespaço
gerado pelos vetores de
.