Mostre que o vetor w=2 i+j-k não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores v1=i-j, v2=3 i+k e v3=4 i-j+k.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor w = av1 + bv2 + cv3 e três vetores , e . A pergunta é: será que conseguimos escrever como uma combinação linear desses três vetores? Ou seja, precisamos ver se existem escalares , e tais que:
Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares. Vamos precisar igualar os componentes de cada vetor e ver se conseguimos encontrar valores para , e que satisfaçam todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a combinação linear dos vetores av1 = a(i - j) = ai - aj , bv2 = b(3i + k) = 3bi + bk e cv3 = c(4i - j + k) = 4ci - cj + ck . Multiplicando cada vetor pelos seus respectivos escalares:
av1 + bv2 + cv3 = (a + 3b + 4c)i + (-a - c)j + (b + c)k
Agora, somando essas expressões:

Passo 3

Igualando a combinação linear ao vetor 2i + j - k = (a + 3b + 4c)i + (-a - c)j + (b + c)k :
a + 3b + 4c = 2 (1)
Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de -a - c = 1 (2) , b + c = -1 (3) e devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (2):
-a - c = 1 implies a = -c - 1 (4)
Agora, da equação (3):
b + c = -1 implies b = -1 - c (5)

Passo 5

Substituindo as expressões (4) e (5) na equação (1):
(-c - 1) + 3(-1 - c) + 4c = 2
Vamos simplificar isso:
- c - 1 - 3 - 3c + 4c = 2
Somando os termos semelhantes:
(-c - 3c + 4c) + (-1 - 3) = 2
0c - 4 = 2
-4 = 2

Passo 6

Acontece que chegamos a uma contradição: , o que não faz sentido. Isso significa que não existe um conjunto de valores , e que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Portanto, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

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