Mostre que o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor e três vetores , e . A pergunta é: será que conseguimos escrever como uma combinação linear desses três vetores? Ou seja, precisamos ver se existem escalares , e tais que:
Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares. Vamos precisar igualar os componentes de cada vetor e ver se conseguimos encontrar valores para , e que satisfaçam todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a combinação linear dos vetores , e . Multiplicando cada vetor pelos seus respectivos escalares:
Agora, somando essas expressões:

Passo 3

Igualando a combinação linear ao vetor :
Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de , e devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (2):
Agora, da equação (3):

Passo 5

Substituindo as expressões (4) e (5) na equação (1):
Vamos simplificar isso:
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Acontece que chegamos a uma contradição: , o que não faz sentido. Isso significa que não existe um conjunto de valores , e que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Portanto, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

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Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .
Determine escalares e para expressar como combinação linear dos vetores e
Determine condições sobre os números e para que as retas e sejam paralelas mas não coincidentes.
Determine o subespaço gerado pelos vetores de .