Determine o subespaço
gerado pelos vetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço
gerado pelos vetores da matriz
. Isso está dentro da álgebra linear, especificamente lidando com subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender quais combinações lineares dos vetores de
formam esse subespaço
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quais são os vetores que compõem a matriz
. Geralmente, consideramos as colunas da matriz como os vetores geradores. Ou seja, se
for uma matriz
, seus vetores geradores serão as colunas
.
Passo 3
Agora, para encontrar o subespaço
gerado por esses vetores, precisamos considerar todas as possíveis combinações lineares desses vetores. Uma combinação linear de
é dada por:
onde
são escalares (números reais).
Passo 4
Para determinar exatamente quais vetores formam o subespaço
, a gente precisa verificar a independência linear dos vetores de
. Uma maneira prática de fazer isso é colocando a matriz
em forma escalonada por meio de operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas contêm pivôs, ou seja, quais vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Depois de identificar os vetores linearmente independentes, o subespaço
é gerado por esses vetores. Por exemplo, se apenas
e
forem vetores independentes, então:
Resposta
O subespaço
gerado pelos vetores da matriz
é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores linearmente independentes de
. Após identificar esses vetores, podemos expressar
como o espaço gerado por eles.
Exercícios relacionados
Determine condições sobre os números
e
para que as retas
e
sejam paralelas mas não coincidentes.
Mostre que o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
e
.
Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por
e
. Justifique todas as suas respostas.
Determine a reta simétrica à reta
em relação à reta
, onde:
e
.