Determine o subespaço gerado pelos vetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores da matriz . Isso está dentro da álgebra linear, especificamente lidando com subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender quais combinações lineares dos vetores de formam esse subespaço .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais são os vetores que compõem a matriz . Geralmente, consideramos as colunas da matriz como os vetores geradores. Ou seja, se for uma matriz , seus vetores geradores serão as colunas .

Passo 3

Agora, para encontrar o subespaço gerado por esses vetores, precisamos considerar todas as possíveis combinações lineares desses vetores. Uma combinação linear de é dada por:
onde são escalares (números reais).

Passo 4

Para determinar exatamente quais vetores formam o subespaço , a gente precisa verificar a independência linear dos vetores de . Uma maneira prática de fazer isso é colocando a matriz em forma escalonada por meio de operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas contêm pivôs, ou seja, quais vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Depois de identificar os vetores linearmente independentes, o subespaço é gerado por esses vetores. Por exemplo, se apenas e forem vetores independentes, então:

Resposta

O subespaço gerado pelos vetores da matriz é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores linearmente independentes de . Após identificar esses vetores, podemos expressar como o espaço gerado por eles.

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e .