Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações das retas que passam pelo ponto (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionado ao ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta dada . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é o coeficiente angular.
Começando com , isolamos :
Então, o coeficiente angular da primeira reta é .
Passo 3
Agora, queremos encontrar o coeficiente angular das retas que passam por (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta .
A fórmula para o ângulo entre duas retas com coeficientes angulares e é:
Como , sabemos que . Então:
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Multiplicando ambos os lados por :
Caso 2:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas que queremos, vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é o ponto por onde a reta passa, no caso (2, -1), e é o coeficiente angular.