Determine as equações das retas que passam pelo ponto (2,-1) e formam, cada uma, um ângulo de 45^circ com a reta 2 x-3 y+7=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações das retas que passam pelo ponto (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionado ao ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta dada -3y = -2x - 7 y = 23x + 73 . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é o coeficiente angular.
Começando com , isolamos :
Então, o coeficiente angular da primeira reta é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o coeficiente angular tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 | das retas que passam por (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta 1 = | m2 - 231 + 23 m2 | .
A fórmula para o ângulo entre duas retas com coeficientes angulares e é:
Como , sabemos que . Então:

Passo 4

Vamos resolver a equação:
m2 - 231 + 23 m2 = pm 1
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1:
m2 - 231 + 23 m2 = 1
Multiplicando ambos os lados por m2 - 23 = 1 + 23 m2 m2 - 23 - 23 m2 = 1 m2 (1 - 23) - 23 = 1 13 m2 - 23 = 1 13 m2 = 53 m2 = 5 :
m2 - 231 + 23 m2 = -1
Caso 2:
m2 - 23 = -1 - 23 m2 m2 + 23 m2 - 23 = -1 m2 (1 + 23) - 23 = -1 53 m2 - 23 = -1 53 m2 = -1 + 23 53 m2 = -13 m2 = -15
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas que queremos, vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde y - (-1) = 5(x - 2) y + 1 = 5x - 10 y = 5x - 11 é o ponto por onde a reta passa, no caso (2, -1), e y - (-1) = -15(x - 2) y + 1 = -15x + 25 y = -15x + 25 - 1 y = -15x - 35 é o coeficiente angular.
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas são:
y = 5x - 11
e
y = -15x - 35

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