Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações das retas que passam pelo ponto (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionado ao ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta dada . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é o coeficiente angular.
Começando com , isolamos :
Então, o coeficiente angular da primeira reta é .
Passo 3
Agora, queremos encontrar o coeficiente angular das retas que passam por (2, -1) e formam um ângulo de 45° com a reta .
A fórmula para o ângulo entre duas retas com coeficientes angulares e é:
Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas que queremos, vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde y - (-1) = 5(x - 2) y + 1 = 5x - 10 y = 5x - 11 é o ponto por onde a reta passa, no caso (2, -1), e y - (-1) = -15(x - 2) y + 1 = -15x + 25 y = -15x + 25 - 1 y = -15x - 35 é o coeficiente angular.