Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de [a, b].
24. f(x) = { 2x + 3 se x < 3; 15 - 2x se 3 <= x }; a = -1, b = 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o Teorema do Valor Médio vale para a função dada no intervalo de . Pra isso, precisamos lembrar que o teorema exige duas coisas:
  1. A função tem que ser contínua no intervalo fechado [a, b].
  2. A função tem que ser diferenciável no intervalo aberto (a, b).
Então, vamos precisar conferir essas duas condições pra ver se elas são atendidas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função f(x) que é definida de forma diferente dependendo de x ser menor que 3 ou maior ou igual a 3:
Precisamos verificar se essa função é contínua no intervalo . Isso significa que não pode ter “saltos” ou quebras no gráfico da função dentro desse intervalo.

Passo 3

Vamos ver o que acontece em , que é o ponto onde a definição da função muda.
  • Para x chegando de valores menores que 3, a função é . Então, em :
    - Para x chegando de valores maiores ou iguais a 3, a função é . Então, em :
Como e são iguais, a função é contínua em . E como fora desse ponto a função é uma reta (que é sempre contínua), podemos dizer que a função f(x) é contínua em todo o intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: se a função é diferenciável no intervalo aberto (a, b), que aqui é . Diferenciabilidade significa que a função não tem cantos ou quebras no gráfico, ou seja, a derivada existe em todos os pontos do intervalo.
Vamos ver novamente em :
  • A derivada para de é .
  • A derivada para de é .
As derivadas à esquerda e à direita de são diferentes ( ), o que significa que a derivada não existe em . Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não é satisfeito porque a função não é diferenciável no ponto dentro do intervalo .

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