Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de
.
24.
24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o Teorema do Valor Médio vale para a função dada no intervalo de
. Pra isso, precisamos lembrar que o teorema exige duas coisas:
- A função tem que ser contínua no intervalo fechado
. - A função tem que ser diferenciável no intervalo aberto
.
Então, vamos precisar conferir essas duas condições pra ver se elas são atendidas ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função
que é definida de forma diferente dependendo de
ser menor que 3 ou maior ou igual a 3:
Precisamos verificar se essa função é contínua no intervalo
. Isso significa que não pode ter “saltos” ou quebras no gráfico da função dentro desse intervalo.
Passo 3
Vamos ver o que acontece em
, que é o ponto onde a definição da função muda.
- Para
chegando de valores menores que 3, a função é . Então, em :
- Parachegando de valores maiores ou iguais a 3, a função é . Então, em :
Como
e
são iguais, a função é contínua em
. E como fora desse ponto a função é uma reta (que é sempre contínua), podemos dizer que a função
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: se a função é diferenciável no intervalo aberto
, que aqui é
. Diferenciabilidade significa que a função não tem cantos ou quebras no gráfico, ou seja, a derivada existe em todos os pontos do intervalo.
Vamos ver novamente em
:
- A derivada para
de é . - A derivada para
de é .
As derivadas à esquerda e à direita de
são diferentes (
), o que significa que a derivada não existe em
. Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não é satisfeito porque a função não é diferenciável no ponto
dentro do intervalo
.
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Resolva as questões abaixo
35. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que (a) a área combinada das duas figuras seja a menor possível; (b) a área combinada das duas figuras seja a maior possível?
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Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
46. não existe;
não existe;
se
;
se
46.
Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
47. se
se
se
;
se
47.