Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
47. se se se ; se

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir como é o gráfico de uma função perto de um ponto específico , usando informações sobre suas derivadas primeira e segunda. A matéria que estamos mexendo aqui é de Cálculo, mais especificamente de análise de funções usando derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas influenciam o comportamento da função no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a derivada primeira . A informação dada é que:
  • quando : Isso significa que a função está decrescendo antes de .
  • quando : Isso indica que a função está crescendo depois de .
Quando a derivada primeira muda de negativa para positiva passando por , isso geralmente indica que temos um mínimo local no ponto .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a derivada segunda :
  • quando : A função está côncava para cima antes de .
  • quando : A função está côncava para baixo depois de .
Essa mudança na concavidade sugere que há uma inflação na curvatura da função no ponto .

Passo 4

Vamos juntar essas informações:
  • Antes de :
    • A função está decrescendo ( ) e côncava para cima ( ).
  • Depois de :
    • A função está crescendo ( ) e côncava para baixo ( ).
Esse comportamento indica que, no ponto , a função passa de decrescente para crescente, formando um mínimo local. Além disso, a mudança na concavidade sugere que o gráfico tem uma espécie de “ponto de virada” na forma da curva.

Resposta

O gráfico da função apresenta um mínimo local no ponto , onde a curva muda de decrescente para crescente. Além disso, a concavidade da função passa de côncava para cima antes de para côncava para baixo depois de , formando uma curva com um ponto de mínimo no ponto .

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