Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
47.
se
se
se
;
se
47.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir como é o gráfico de uma função
perto de um ponto específico
, usando informações sobre suas derivadas primeira e segunda. A matéria que estamos mexendo aqui é de Cálculo, mais especificamente de análise de funções usando derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas influenciam o comportamento da função no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a derivada primeira
. A informação dada é que:
-
quando : Isso significa que a função está decrescendo antes de . -
quando : Isso indica que a função está crescendo depois de .
Quando a derivada primeira muda de negativa para positiva passando por
, isso geralmente indica que temos um mínimo local no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a derivada segunda
:
-
quando : A função está côncava para cima antes de . -
quando : A função está côncava para baixo depois de .
Essa mudança na concavidade sugere que há uma inflação na curvatura da função no ponto
.
Passo 4
Vamos juntar essas informações:
-
Antes de
: - A função está decrescendo (
) e côncava para cima ( ).
- A função está decrescendo (
-
Depois de
: - A função está crescendo (
) e côncava para baixo ( ).
- A função está crescendo (
Esse comportamento indica que, no ponto
, a função passa de decrescente para crescente, formando um mínimo local. Além disso, a mudança na concavidade sugere que o gráfico tem uma espécie de “ponto de virada” na forma da curva.
Resposta
O gráfico da função
apresenta um mínimo local no ponto
, onde a curva muda de decrescente para crescente. Além disso, a concavidade da função passa de côncava para cima antes de
para côncava para baixo depois de
, formando uma curva com um ponto de mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de
.
24.
24.
Resolva as questões abaixo
35. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que (a) a área combinada das duas figuras seja a menor possível; (b) a área combinada das duas figuras seja a maior possível?
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