Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
46.
não existe;
não existe;
se
;
se
46.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que analisar como o gráfico de uma função se comporta perto de um ponto específico, chamado
. Os pontos principais são:
- A primeira derivada,
, não existe. - A segunda derivada,
, também não existe. - Para valores de
menores que , . - Para valores de
maiores que , .
Vamos precisar entender conceitos de derivadas e a forma como elas influenciam o gráfico da função para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa quando a primeira derivada
não existe. A primeira derivada nos dá a inclinação da tangente ao gráfico da função naquele ponto. Se ela não existe, isso geralmente indica que há um ângulo agudo ou um “canto” no ponto
, ao invés de uma curva suave.
Passo 3
Agora, a segunda derivada
também não existe. A segunda derivada está relacionada à concavidade do gráfico. Quando ela não existe, pode ser que a concavidade mude de uma forma para outra exatamente no ponto
.
Passo 4
Vamos analisar as condições
para
e
para
. Quando
, o gráfico é côncavo para baixo, parecendo um “sorriso”. Quando
, é côncavo para cima, parecendo um “olho de boi”. Então, antes de
, o gráfico está “virado para baixo”, e depois de
, está “virado para cima”.
Passo 5
Combinando tudo isso, sabemos que no ponto
há uma mudança na concavidade e um ponto onde a derivada não existe, ou seja, há um “canto” no gráfico onde a concavidade muda de para baixo para para cima.
Resposta
O gráfico possui um ponto de inflexão em
com um “canto”, onde a concavidade muda de para baixo (
) para para cima (
), e a derivada não existe nesse ponto.