Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
46. f'(c) não existe; f''(c) não existe; f''(x) < 0 se x < c; f''(x) > 0 se x > c

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que analisar como o gráfico de uma função se comporta perto de um ponto específico, chamado . Os pontos principais são:
  • A primeira derivada, , não existe.
  • A segunda derivada, , também não existe.
  • Para valores de menores que , .
  • Para valores de maiores que , .
Vamos precisar entender conceitos de derivadas e a forma como elas influenciam o gráfico da função para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa quando a primeira derivada não existe. A primeira derivada nos dá a inclinação da tangente ao gráfico da função naquele ponto. Se ela não existe, isso geralmente indica que há um ângulo agudo ou um “canto” no ponto , ao invés de uma curva suave.

Passo 3

Agora, a segunda derivada também não existe. A segunda derivada está relacionada à concavidade do gráfico. Quando ela não existe, pode ser que a concavidade mude de uma forma para outra exatamente no ponto .

Passo 4

Vamos analisar as condições para e para . Quando , o gráfico é côncavo para baixo, parecendo um “sorriso”. Quando , é côncavo para cima, parecendo um “olho de boi”. Então, antes de , o gráfico está “virado para baixo”, e depois de , está “virado para cima”.

Passo 5

Combinando tudo isso, sabemos que no ponto há uma mudança na concavidade e um ponto onde a derivada não existe, ou seja, há um “canto” no gráfico onde a concavidade muda de para baixo para para cima.

Resposta

O gráfico possui um ponto de inflexão em com um “canto”, onde a concavidade muda de para baixo ( ) para para cima ( ), e a derivada não existe nesse ponto.

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