Resolva as questões abaixo
35. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que (a) a área combinada das duas figuras seja a menor possível; (b) a área combinada das duas figuras seja a maior possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pedaço de arame com 10 metros que vai ser cortado em duas partes. Uma parte vai ser dobrada formando um círculo e a outra formando um quadrado. Nosso objetivo é descobrir como dividir esse arame de forma que:
a) A soma das áreas das duas figuras seja a menor possível.
b) A soma das áreas das duas figuras seja a maior possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre perímetros e áreas de círculos e quadrados, além de otimização para encontrar os melhores pontos de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar:
  • Perímetro do círculo: Se o círculo tem raio , o perímetro (circunferência) é dado por:
  • Área do círculo:
    í
  • Perímetro do quadrado: Se o quadrado tem lado , o perímetro é:
  • Área do quadrado:
Nosso objetivo é relacionar esses perímetros com o comprimento total do arame e depois encontrar a combinação que minimiza ou maximiza a soma das áreas.

Passo 3

Vamos chamar o comprimento do arame usado para o círculo de e para o quadrado de . Sabemos que:
Vamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, expressamos os lados das figuras em termos dos perímetros:
Para o círculo:
E a área do círculo:
í
Para o quadrado:
E a área do quadrado:

Passo 5

A soma das áreas das duas figuras é:
í
Lembrando que , substituímos:

Passo 6

Agora, para otimizar , vamos derivar essa expressão em relação a e encontrar onde a derivada é zero, indicando possíveis mínimos ou máximos.
Primeiro, simplificamos a expressão:

Passo 7

Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 9

Juntamos as frações para resolver para :
Então:

Passo 10

Agora, calculamos :

Passo 11

Então, para a parte (a) onde a área combinada é a menor possível, os comprimentos devem ser:
í
Para a parte (b) onde a área combinada é a maior possível, como a função é convexa, o mínimo encontrado é realmente o menor valor, e os máximos ocorrerão nos extremos do intervalo. Ou seja, quando todo o arame é dedicado a uma das figuras:
  • Máxima área combinada ocorre quando todo o arame é usado para o quadrado:
    ²
  • Ou todo o arame é usado para o círculo:
    ²²
Comparando, o maior valor é quando todo o arame é usado para o círculo.

Resposta

a) Para a área combinada ser a menor possível, devemos cortar o arame de forma que:
  • Comprimento para o círculo:
  • Comprimento para o quadrado:
b) Para a área combinada ser a maior possível, devemos usar todo o arame para o círculo. Ou seja:
  • Comprimento para o círculo:
  • Comprimento para o quadrado:

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