Resolva as questões abaixo
35. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que (a) a área combinada das duas figuras seja a menor possível; (b) a área combinada das duas figuras seja a maior possível?
35. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que (a) a área combinada das duas figuras seja a menor possível; (b) a área combinada das duas figuras seja a maior possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pedaço de arame com 10 metros que vai ser cortado em duas partes. Uma parte vai ser dobrada formando um círculo e a outra formando um quadrado. Nosso objetivo é descobrir como dividir esse arame de forma que:
a) A soma das áreas das duas figuras seja a menor possível.
b) A soma das áreas das duas figuras seja a maior possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre perímetros e áreas de círculos e quadrados, além de otimização para encontrar os melhores pontos de divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar:
-
Perímetro do círculo: Se o círculo tem raio
, o perímetro (circunferência) é dado por: -
Área do círculo:
-
Perímetro do quadrado: Se o quadrado tem lado
, o perímetro é: -
Área do quadrado:
Nosso objetivo é relacionar esses perímetros com o comprimento total do arame e depois encontrar a combinação que minimiza ou maximiza a soma das áreas.
Passo 3
Vamos chamar o comprimento do arame usado para o círculo de
e para o quadrado de
. Sabemos que:
Vamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, expressamos os lados das figuras em termos dos perímetros:
Para o círculo:
E a área do círculo:
Para o quadrado:
E a área do quadrado:
Passo 5
A soma das áreas das duas figuras é:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Agora, para otimizar
, vamos derivar essa expressão em relação a
e encontrar onde a derivada é zero, indicando possíveis mínimos ou máximos.
Primeiro, simplificamos a expressão:
Passo 7
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 9
Juntamos as frações para resolver para
:
Então:
Passo 10
Agora, calculamos
:
Passo 11
Então, para a parte (a) onde a área combinada é a menor possível, os comprimentos devem ser:
Para a parte (b) onde a área combinada é a maior possível, como a função
é convexa, o mínimo encontrado é realmente o menor valor, e os máximos ocorrerão nos extremos do intervalo. Ou seja, quando todo o arame é dedicado a uma das figuras:
-
Máxima área combinada ocorre quando todo o arame é usado para o quadrado:
-
Ou todo o arame é usado para o círculo:
Comparando, o maior valor é quando todo o arame é usado para o círculo.
Resposta
a) Para a área combinada ser a menor possível, devemos cortar o arame de forma que:
-
Comprimento para o círculo:
-
Comprimento para o quadrado:
b) Para a área combinada ser a maior possível, devemos usar todo o arame para o círculo. Ou seja:
-
Comprimento para o círculo:
-
Comprimento para o quadrado:
Exercícios relacionados
Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
46. não existe;
não existe;
se
;
se
46.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região:
dentro de ambos os cardioides e
.
dentro de ambos os cardioides
Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de
.
24.
24.
Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
47. se
se
se
;
se
47.