Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de [a,b].
23.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir qual das condições do Teorema do Valor Médio não é satisfeita para a função no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e quais são as condições que ele exige.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Basicamente, ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à média das inclinações nos extremos. Ou seja:
Então, as duas condições que precisamos verificar são:
  1. Continuidade da função em .
  2. Diferenciabilidade da função em .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade da função no intervalo .
Uma função é contínua se não tiver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” no intervalo considerado. A função que temos é uma potência com expoente fracionário. Especificamente, é equivalente a .
Como a raiz cúbica está sempre definida para números reais e o quadrado de qualquer número real é não negativo, a função está contínua para todo real, incluindo . Então, a primeira condição do teorema está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no intervalo aberto . Para isso, vamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra da derivada para potências:
Agora, vamos analisar onde essa derivada pode não existir. A expressão está definida para todo , já que em , teríamos uma divisão por zero, o que não é permitido.
Portanto, a função não é diferenciável em .

Passo 5

Como encontramos que a função não é diferenciável em dentro do intervalo , isso significa que a segunda condição do Teorema do Valor Médio não está satisfeita.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não é aplicado porque a função não é diferenciável em no intervalo .

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