Determine qual das condições o teorema do valor médio não é satisfeita para a questão abaixo no intervalo de [a,b].
23.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir qual das condições do Teorema do Valor Médio não é satisfeita para a função
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e quais são as condições que ele exige.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Basicamente, ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à média das inclinações nos extremos. Ou seja:
Então, as duas condições que precisamos verificar são:
- Continuidade da função em
. - Diferenciabilidade da função em
.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade da função
no intervalo
.
Uma função é contínua se não tiver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” no intervalo considerado. A função que temos é uma potência com expoente fracionário. Especificamente,
é equivalente a
.
Como a raiz cúbica está sempre definida para números reais e o quadrado de qualquer número real é não negativo, a função
está contínua para todo
real, incluindo
. Então, a primeira condição do teorema está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no intervalo aberto
. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra da derivada para potências:
Agora, vamos analisar onde essa derivada pode não existir. A expressão
está definida para todo
, já que em
, teríamos uma divisão por zero, o que não é permitido.
Portanto, a função não é diferenciável em
.
Passo 5
Como encontramos que a função
não é diferenciável em
dentro do intervalo
, isso significa que a segunda condição do Teorema do Valor Médio não está satisfeita.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não é aplicado porque a função não é diferenciável em
no intervalo
.
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