Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para ajudar a encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais, especificamente as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como usar fatores integrantes e integrar funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar todos os termos com
de um lado:
Viu? Agora está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Isso serve para facilitar a integração da equação.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Isso significa que podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Com a equação simplificada, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Já do lado direito, a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real qualquer.
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