Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para ajudar a encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais, especificamente as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como usar fatores integrantes e integrar funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar todos os termos com de um lado:
Viu? Agora está na forma padrão de uma equação diferencial linear: , onde e .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Isso serve para facilitar a integração da equação.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Isso significa que podemos reescrever a equação como:

Passo 5

Com a equação simplificada, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Já do lado direito, a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real qualquer.

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