Determine se o conjunto abaixo é um subespaço do
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que determinar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a identificar subespaços vetoriais.
Passo 2
Para que um conjunto seja um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve pertencer a . - Fechamento na adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento na multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
Substituímos
,
e
na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a
.
Passo 4
2. Verificando o fechamento na adição:
Vamos considerar dois vetores
e
que pertencem a
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também pertence a
.
Substituímos na equação:
Portanto,
está em
.
Passo 5
3. Verificando o fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor
que pertence a
e um escalar
. Precisamos mostrar que
também pertence a
.
Substituímos na equação:
Assim,
está em
.
Resposta
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto
é um subespaço de
.