Determine se o conjunto abaixo é um subespaço do :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que determinar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a identificar subespaços vetoriais.

Passo 2

Para que um conjunto seja um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve pertencer a .
  2. Fechamento na adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
Substituímos , e na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a .

Passo 4

2. Verificando o fechamento na adição:
Vamos considerar dois vetores e que pertencem a . Isso significa que:
Queremos mostrar que também pertence a .
Substituímos na equação:
Portanto, está em .

Passo 5

3. Verificando o fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor que pertence a e um escalar . Precisamos mostrar que também pertence a .
Substituímos na equação:
Assim, está em .

Resposta

Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Considere o triângulo de vértices e . Responda da cada um dos itens abaixo:
(b) caso possível, determine o ângulo formado pela reta que passa pelos pontos e e a reta que passa pelos pontos e .
Considere o triângulo de vértices e . Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine a equação da reta que passa por e ;
Determine se o conjunto que segue abaixo é um subespaço vetorial do conjunto :
Escreva o vetor v como uma combinação linear dos vetores em (se possível):