Determine se o conjunto abaixo é um subespaço do R^3 :
W=(x, y, z) in R^3 / 2 x+3 y-4 z=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que determinar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a identificar subespaços vetoriais.

Passo 2

Para que um conjunto seja um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve pertencer a .
  2. Fechamento na adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0 :
Substituímos 0 = 0 , e na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a .

Passo 4

2. Verificando o fechamento na adição:
Vamos considerar dois vetores 2x1 + 3y1 - 4z1 = 0 e 2x2 + 3y2 - 4z2 = 0 que pertencem a 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) - 4(z1 + z2) . Isso significa que:
= (2x1 + 3y1 - 4z1) + (2x2 + 3y2 - 4z2)
= 0 + 0 = 0
Queremos mostrar que também pertence a .
Substituímos na equação:
Portanto, está em .

Passo 5

3. Verificando o fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor 2(c x) + 3(c y) - 4(c z) que pertence a = c(2x + 3y - 4z) e um escalar = c cdot 0 = 0 . Precisamos mostrar que também pertence a .
Substituímos na equação:
Assim, está em .

Resposta

Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto é um subespaço de .

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