Determine se o conjunto que segue abaixo é um subespaço vetorial do conjunto :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos lembrar os três critérios que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Agora, vamos verificar cada um desses critérios passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é .
Para estar em , ele precisa satisfazer a equação .
Substituindo e :
Como , o vetor zero não está em .

Passo 3

Já que o primeiro critério não foi atendido, tecnicamente, o conjunto não é um subespaço vetorial. Mas vamos seguir adiante para entender melhor.
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . Então:
A soma desses vetores é .
Vamos verificar se está em :
Portanto, a soma de dois vetores de não pertence a . Isso mostra que não é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
Seja pertencente a , então:
Multiplicando por um escalar :
Vamos verificar se está em :
Para que esteja em , precisamos que . Mas isso só acontece se , ou seja, para outros valores de , não pertence a . Logo, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Após verificar os três critérios, concluímos que o conjunto não é um subespaço vetorial de .

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Determine se o conjunto abaixo é um subespaço do :
Considere o triângulo de vértices e . Responda da cada um dos itens abaixo:
(b) caso possível, determine o ângulo formado pela reta que passa pelos pontos e e a reta que passa pelos pontos e .
Escreva o vetor v como uma combinação linear dos vetores em (se possível):
Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.