Escreva o vetor v como uma combinação linear dos vetores em S (se possível):
v=(-3,15,18)
S=(2,0,7),(2,4,5),(2,-12,13)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores que estão no conjunto . Isso significa que queremos encontrar números que, multiplicados por cada vetor de e somados, resultem no vetor . Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os coeficientes que estamos procurando de a cdot (2, 0, 7) + b cdot (2, 4, 5) + c cdot (2, -12, 13) = (-3, 15, 18) , 2a + 2b + 2c = -3 e 0a + 4b - 12c = 15 . Assim, queremos que:
7a + 5b + 13c = 18
Isso dá três equações, uma para cada componente do vetor:
  1. Para a primeira coordenada:
  1. Para a segunda coordenada:
  1. Para a terceira coordenada:

Passo 3

Vamos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 2:
a + b + c = -32
Agora, temos o sistema:
a + b + c = -32 4b - 12c = 15 7a + 5b + 13c = 18
Vamos resolver a segunda equação para 4b - 12c = 15 Rightarrow b = 15 + 12c4 = 154 + 3c :
a + (154 + 3c) + c = -32 Rightarrow a + 154 + 4c = -32
Agora, substituímos a = -32 - 154 - 4c = -64 - 154 - 4c = -214 - 4c na primeira equação:
7(-214 - 4c) + 5(154 + 3c) + 13c = 18
Isolando -1474 - 28c + 754 + 15c + 13c = 18 Rightarrow -724 = 18 Rightarrow -18 = 18 :
Agora, substituímos e na terceira equação:
Simplificando:
Isso não faz sentido, já que .

Resposta

Não é possível escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores em .

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