Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é continua.
g(t) = e^(-7) cos(t), f(x, y) = x^4 + x^2 y^2 + y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a função e descobrir onde essa função é contínua. Aqui estamos trabalhando com funções compostas, onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e as condições de continuidade para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar substituindo na função . Isso significa que onde vemos em , vamos colocar .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir pela expressão dada:
Portanto:

Passo 4

Para determinar o conjunto onde é contínua, precisamos analisar as funções envolvidas. Sabemos que:
  1. A função polinomial é contínua em todo porque polinômios são contínuos em todo o seu domínio.
  2. A função é contínua para todo real.
  3. A multiplicação por uma constante não afeta a continuidade.
Como a composição de funções contínuas é contínua, será contínua em todo .

Resposta

A função composta é e ela é contínua para todos os pontos no plano real .

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