Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (4,0,0,0) x^2-y^2-z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites em várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um limite existe em múltiplas direções e se os resultados são os mesmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função:
f(x, y, z) = x^2 - y^2 - z^2x^2 + y^2 + z^2
Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Para encontrar o limite, podemos tentar substituir diretamente os valores:
f(4, 0, 0) = 4^2 - 0^2 - 0^24^2 + 0^2 + 0^2 = 1616 = 1
Parece que o limite é 1, mas precisamos confirmar se esse valor é o mesmo vindo de todas as direções.

Passo 4

Vamos verificar o limite ao aproximar-se de f(x, 0, 0) = x^2x^2 = 1 pela direção onde e :
Então, neste caminho, o limite é 1.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho. Suponha que f(x, k(x - 4), k(x - 4)) = x^2 - [k(x - 4)]^2 - [k(x - 4)]^2x^2 + [k(x - 4)]^2 + [k(x - 4)]^2 , onde = x^2 - 2k^2(x - 4)^2x^2 + 2k^2(x - 4)^2 é uma constante e limx to 4 f(x, k(x - 4), k(x - 4)) = 1616 = 1 se aproxima de 4. Substituindo:
Simplificando:
Quando se aproxima de 4, tende a 0, então:
Mais uma vez, o limite é 1.

Passo 6

Porém, para garantir que o limite é realmente 1, devemos verificar mais caminhos. Por exemplo, se escolhermos e se aproxima de 4, já vimos que o limite é 1. Se escolhermos outro caminho diferente, como se aproxima de 4 enquanto e não seguem uma relação linear, mesmo assim, os termos e vão se tornar insignificantes comparados a , mantendo o limite em 1.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados