Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites em várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um limite existe em múltiplas direções e se os resultados são os mesmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função:
Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para encontrar o limite, podemos tentar substituir diretamente os valores:
Parece que o limite é 1, mas precisamos confirmar se esse valor é o mesmo vindo de todas as direções.
Passo 4
Vamos verificar o limite ao aproximar-se de
pela direção onde
e
:
Então, neste caminho, o limite é 1.
Passo 5
Agora, vamos tentar outro caminho. Suponha que
, onde
é uma constante e
se aproxima de 4. Substituindo:
Simplificando:
Quando
se aproxima de 4,
tende a 0, então:
Mais uma vez, o limite é 1.
Passo 6
Porém, para garantir que o limite é realmente 1, devemos verificar mais caminhos. Por exemplo, se escolhermos
e
se aproxima de 4, já vimos que o limite é 1. Se escolhermos outro caminho diferente, como
se aproxima de 4 enquanto
e
não seguem uma relação linear, mesmo assim, os termos
e
vão se tornar insignificantes comparados a
, mantendo o limite em 1.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Seja
. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Determine
e o conjunto no qual
é continua.
Seja
. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.