Seja . Expresse as quantidades abaixo em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar a seguinte quantidade em termos de e , onde :
A gente vai trabalhar com números complexos, especificamente separando as partes real e imaginária das expressões. Vamos precisar expandir , identificar as partes reais e imaginárias, e depois combinar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que , então:
Lembrando que , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar , ou seja, a parte real de :
A parte real é .

Passo 4

Vamos multiplicar a parte real que encontramos pelo :

Passo 5

Agora, vamos calcular , ou seja, a parte imaginária de :
Primeiro, calculamos cada termo:
Somando tudo:
A parte imaginária é .

Passo 6

Agora, juntamos os dois resultados:
Como estamos expressando tudo em termos de e , podemos deixar assim ou separar em parte real e imaginária, dependendo do contexto. Mas conforme o enunciado, já está expresso em e .

Resposta

A expressão em termos de e é:

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Seja . Calcule os valores de que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Determine e o conjunto no qual é continua.
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Determine o domínio e imagem das seguintes funções: