Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando
se aproxima do ponto
. Isso envolve conhecimentos sobre limites de funções de duas variáveis e como verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de
e
no ponto
na função para ver se conseguimos uma ideia inicial do limite.
Substituindo
e
na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função no ponto
é
.
Passo 3
Mas precisamos garantir que esse limite seja o mesmo independentemente de como nos aproximamos do ponto
. Para isso, vamos mudar de coordenadas para facilitar a análise. Vamos definir uma nova variável
, de modo que o ponto
se torna
no sistema de coordenadas
.
Substituindo
na função original:
Numerador:
Denominador:
Agora, a função fica:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
:
- Os termos
e tendem a 0. - O numerador se aproxima de
porque os termos e também tendem a 0. - O denominador se aproxima de
porque os termos tendem a 0.
Portanto, a função se aproxima de
.
Passo 5
Para garantir que o limite é realmente 3, independentemente do caminho seguido para chegar a
, podemos testar alguns caminhos diferentes:
-
Caminho 1:Quando
, substituindo: -
Caminho 2:Quando
: -
Caminho 3:
, onde e são constantes que fazem quando .
Em todos os caminhos testados, o limite tende a 3, o que sugere que o limite da função é realmente 3.
Resposta
O limite é igual a 3.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então
Se
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine
e o conjunto no qual
é continua.