Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y=-0,-1) x^2+y^2-2 x-2 yx^2+y^2-2 x+2 y+2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
x^2 + y^2 - 2x - 2yx^2 + y^2 - 2x + 2y + 2
quando se aproxima do ponto . Isso envolve conhecimentos sobre limites de funções de duas variáveis e como verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de 0^2 + (-1)^2 - 2 times 0 - 2 times (-1) = 0 + 1 - 0 + 2 = 3 e 0^2 + (-1)^2 - 2 times 0 + 2 times (-1) + 2 = 0 + 1 - 0 - 2 + 2 = 1 no ponto na função para ver se conseguimos uma ideia inicial do limite.
Substituindo e na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função no ponto é .

Passo 3

Mas precisamos garantir que esse limite seja o mesmo independentemente de como nos aproximamos do ponto x^2 + (y' - 1)^2 - 2x - 2(y' - 1) = x^2 + y'^2 - 2y' + 1 - 2x - 2y' + 2 = x^2 + y'^2 - 4y' + 3 - 2x . Para isso, vamos mudar de coordenadas para facilitar a análise. Vamos definir uma nova variável x^2 + (y' - 1)^2 - 2x + 2(y' - 1) + 2 = x^2 + y'^2 - 2y' + 1 - 2x + 2y' - 2 + 2 = x^2 + y'^2 - 2x + 1 , de modo que o ponto x^2 + y'^2 - 4y' + 3 - 2xx^2 + y'^2 - 2x + 1 se torna no sistema de coordenadas .
Substituindo na função original:
Numerador:
Denominador:
Agora, a função fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de :
  • Os termos e tendem a 0.
  • O numerador se aproxima de porque os termos e também tendem a 0.
  • O denominador se aproxima de porque os termos tendem a 0.
Portanto, a função se aproxima de .

Passo 5

Para garantir que o limite é realmente 3, independentemente do caminho seguido para chegar a 0 + y^2 - 0 - 2y0 + y^2 - 0 + 2y + 2 = y^2 - 2yy^2 + 2y + 2 , podemos testar alguns caminhos diferentes:
  • Caminho 1: 1 - (-2)1 + (-2) + 2 = 31 = 3
    x^2 + 1 - 2x + 2x^2 - 2x - 2 + 2 = x^2 - 2x + 3x^2 - 2x
    Quando 0 - 0 + 30 - 0 Indeterminação, mas nos aproxima de 3 , substituindo:
  • Caminho 2:
    Quando :
    çã
  • Caminho 3: , onde e são constantes que fazem quando .
Em todos os caminhos testados, o limite tende a 3, o que sugere que o limite da função é realmente 3.

Resposta

O limite é igual a 3.

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