Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando se aproxima do ponto . Isso envolve conhecimentos sobre limites de funções de duas variáveis e como verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de e no ponto na função para ver se conseguimos uma ideia inicial do limite.
Substituindo e na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função no ponto é .

Passo 3

Mas precisamos garantir que esse limite seja o mesmo independentemente de como nos aproximamos do ponto . Para isso, vamos mudar de coordenadas para facilitar a análise. Vamos definir uma nova variável , de modo que o ponto se torna no sistema de coordenadas .
Substituindo na função original:
Numerador:
Denominador:
Agora, a função fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de :
  • Os termos e tendem a 0.
  • O numerador se aproxima de porque os termos e também tendem a 0.
  • O denominador se aproxima de porque os termos tendem a 0.
Portanto, a função se aproxima de .

Passo 5

Para garantir que o limite é realmente 3, independentemente do caminho seguido para chegar a , podemos testar alguns caminhos diferentes:
  • Caminho 1:
    Quando , substituindo:
  • Caminho 2:
    Quando :
    çã
  • Caminho 3: , onde e são constantes que fazem quando .
Em todos os caminhos testados, o limite tende a 3, o que sugere que o limite da função é realmente 3.

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados

Seja . Calcule os valores de que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine e o conjunto no qual é continua.