Seja . Calcule os valores de que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número complexo e precisa encontrar os valores de que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real ( ) e uma parte imaginária ( ). Vamos precisar usar conceitos básicos de álgebra de números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. A notação representa a parte imaginária de , que é . Já significa a parte real de .

Passo 3

Vamos calcular . Se , então:

Passo 4

Agora, identificamos a parte real e a parte imaginária de . A parte real é e a parte imaginária é .

Passo 5

A equação dada é , ou seja:
Isso relaciona e , nos dizendo que é linearmente dependente de .

Passo 6

Para representar as soluções no plano complexo, vamos considerar todos os pares que satisfazem a equação . Isso forma uma reta no plano complexo, onde cada ponto nessa reta corresponde a um número complexo que satisfaz a equação original.

Resposta

Os valores de que satisfazem são todos os números complexos da forma , onde é um número real. No plano complexo, essas soluções estão representadas por uma reta definida por .

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