Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e © simplesmente conexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar três propriedades de um conjunto no plano: se ele é (a) aberto, (b) conexo por caminhos e © simplesmente conexo. O conjunto que estamos analisando é . Para resolver isso, precisamos entender o que significa cada uma dessas propriedades e aplicar esses conceitos ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto aberto. Em matemática, um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, é possível desenhar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. No nosso caso, o conjunto consiste em todos os pontos no plano onde a coordenada x está entre 1 e 2 ou entre -2 e -1, com qualquer valor de y.

Passo 3

Para verificar se esse conjunto é aberto, observamos que ele não inclui as bordas onde e . Como todas as “pequenas vizinhanças” dos pontos dentro do conjunto permanecem totalmente dentro do conjunto, podemos concluir que ele é aberto.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: conexo por caminhos. Um conjunto é conexo por caminhos se qualquer dois pontos dentro dele podem ser ligados por um caminho contínuo que também está dentro do conjunto. No nosso conjunto, temos duas “faixas” separadas: uma entre e , e outra entre e . Essas faixas não estão conectadas entre si porque há uma “lacuna” entre e onde o conjunto não existe. Portanto, não é possível conectar um ponto de uma faixa a um ponto da outra faixa sem sair do conjunto.

Passo 5

Por fim, vamos analisar se o conjunto é simplesmente conexo. Um conjunto é simplesmente conexo se ele é conexo e não tem “buracos”. Já vimos que o conjunto não é conexo por caminhos, então ele automaticamente não pode ser simplesmente conexo. Mas, mesmo que fosse conexo por caminhos, ter duas faixas separadas indicaria a presença de “buracos” ou lacunas que impediriam a simples conexidade.

Resposta

(a) O conjunto é aberto.
(b) O conjunto não é conexo por caminhos.
© O conjunto não é simplesmente conexo.

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Calcule os limites a seguir: $(b)
Calcule os limites a seguir: $(d)
Use o limite , para calcular