Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e © simplesmente conexo.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos determinar se o conjunto é (a) aberto, (b) conexo por caminhos e © simplesmente conexo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, que estuda propriedades dos espaços que permanecem inalteradas sob deformações contínuas. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto, conexo por caminhos e simplesmente conexo.

Passo 2

a) Verificar se o conjunto é aberto
Na topologia, um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto dentro dele, é possível traçar uma pequena “vizinhança” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto.
Vamos analisar nosso conjunto . Isso significa que todos os pontos têm a coordenada entre 0 e 3, mas sem incluir os próprios valores 0 e 3.
Para qualquer ponto dentro desse intervalo, podemos sempre desenhar um pequeno círculo (ou “vizinhança”) ao redor dele que ainda está totalmente dentro de . Não há pontos de fronteira incluídos no conjunto, então não há “limites” que impediriam a existência dessas vizinhanças.
Portanto, o conjunto é aberto.

Passo 3

b) Verificar se o conjunto é conexo por caminhos
Um espaço é conexo por caminhos se qualquer dois pontos nele podem ser conectados por um caminho contínuo que está completamente dentro do conjunto.
No nosso caso, o conjunto é uma “faixa” infinita na direção do eixo , com variando entre 0 e 3. Se pegarmos qualquer dois pontos nesse conjunto, podemos sempre traçar uma linha reta (ou qualquer outro caminho suave) que conecta esses pontos sem sair do intervalo .
Assim, o conjunto é conexo por caminhos.

Passo 4

c) Verificar se o conjunto é simplesmente conexo
Um espaço é simplesmente conexo se ele é conexo por caminhos e, além disso, não possui “buracos” ou “lacunas”. Isso significa que qualquer laço desenhado no espaço pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do espaço.
Considerando novamente nosso conjunto , não há buracos ou obstáculos que impeçam a contração de um laço a um ponto. Como é uma faixa contínua e infinita na direção do eixo , qualquer laço pode ser reduzido a um ponto dentro do próprio conjunto.
Portanto, o conjunto é simplesmente conexo.

Resposta

(a) O conjunto é aberto.
(b) O conjunto é conexo por caminhos.
© O conjunto é simplesmente conexo.

Exercícios relacionados

(2 pontos) Seja . Calcule os limites laterais desta função em e verifique se a função tem limite em .
Calcule as seguintes derivadas
Calcule os limites a seguir: $(a)
Calcule os limites a seguir: $(b)